Постановка задачи оптимального проектирования

Диск турбины можно рассматривать как вращающийся круглый диск переменной толщины (рис.1). Масса такого диска выражается с помощью формулы:

Где a₁ и a_m - внутренний и внешний радиусы соответственно;
р- плотность; h(r) -толщина диска на расстоянии r от оси вращения.

Минимум достигается подбором функции h (r). Однако эту функцию нельзя изменять произвольно, так как должны быть выполнены требования к прочности диска при воздействии сил, возникающих во время его вращения.

Уравнение равновесия сил для вращающегося диска имеет вид:

где s_t и s_q - радиальное и тангенциальное давление соответственно, а w - частота вращения диска. Это уравнение справедливо в предположении радиальной симметрии сил в плоскости, ортогональной к оси вращения.

Cилы могут быть выражены через величину радиального смещения u(r) c помощью следующих соотношений:

e_r=du/dr; e_q=u/r; (3.4)

где e_r и e_q - радиальная и тангенциальная деформации; E- модуль Юнга и n- отношение Пуассона.

Подставляя уравнения (3) и (4) в (2), получаем:

Отсюда следует, что для определения u(r) необходимо знать геометрию диска, т.е. h=h(r), a₁<=r<=a_m. В этом случае u(r) определится как решение краевой задачи для уравнения (3.5) с граничными условиями:

В результате решения краевой задачи и последующего применения формул (3.3) и (3.4) можно определить давления s_t и s_q.

Кроме условия равновесия сил при вращении диска, должны удовлетворяться требования по прочности. Соответствующее ограничение имеет вид:

(3.7)

где s₀ - предельно допустимое давление.

Наконец, ограничения на пределы изменения толщины диска заданы следующим образом:

где e - нижний предел толщины, заданный из технологических соображений; a_m-a_m-1=const.

Полученная в результате задача минимизации выражения (3.1) при ограничениях (3.5)-(3.8) может быть решена методами оптимального проектирования.