МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Изучаемая система состоит из установки для производства кислорода, компрессора и резервуара для хранения газа. Характеристики кислородного конвертера и цикла потребления кислорода предполагаются заданными, так как определяются внешними по отношению к системе факторами. Характеристический показатель качества проекта естественно выбрать в виде полных затрат в единицу времени, которые включают затраты на производство кислорода (постоянные и переменные), затраты на эксплуатацию компрессора, а также постоянные издержки, связанные с приобретением компрессора и резервуара для хранения кислорода. Основными независимыми переменными являются производительность кислородной установки F (кг О₂/ч), проектная мощность компрессора H (л.с.), проектная емкость резервуара V (м³) и максимальное давление в резервуаре р (Н/м²). Предполагается, что кислородная установка является стандартной и поэтому полностью характеризуется своей производительностью. Кроме того, предполагается также, что резервуар отвечает требованиям обычного проекта и предназначен для хранения кислорода.

Модель системы включает основные соотношения, с помощью которых можно описать взаимосвязи между независимыми переменными.

Пусть I_макс - максимальное количество кислорода, запасенного в резервуаре; используя скорректированное уравнение газового состояния, получим

V = (I _макс/M)(RT/p)z (2.1)

где

R - универсальная газовая постоянная,
Т - температура газа (предполагается постоянной),
z - коэффициент сжимаемости,
М - молекулярный вес кислорода.

Максимальное количество кислорода, которое должно быть запасено в резервуаре, равняется площади, ограниченной кривой потребления между точками t₁ и t₂, D₁ и F. Таким образом,

I_макс = (D₁ - F)(t₂ - t₁) (2.2)

Подставив выражение (2.1) в (2.2), получим

(2.3)

Конструкция компрессора должна обеспечивать управление потоком газа, обладающим скоростью (D₁-F)(t₂-t₁)/t₁, и повышение давления газа до максимального значения р. В предположении, что газ идеальный, а процесс сжатия изотермический, имеем

(2.4)

где
k₁ - переводной коэффициент,
k₂ - коэффициент полезного действия компрессора,
р₀ - начальное давление кислорода.

Уравнения (2.3) и (2.4) необходимо дополнить неравенством, устанавливающим, что производительность кислородной установки F не должна быть меньше средней скорости потребления кислорода, т. е. неравенством

(2.5)

Кроме того, максимальное давление в резервуаре должно превышать начальное давление кислорода:

(2.6)

Характеристический показатель качества проекта включает затраты на производство кислорода:

C₁ (долл./год) =a₁+a₂F, (2.7)

где a₁ и a₂- эмпирически определяемые параметры для установок рассматриваемого типа, связанные с затратами на топливо, воду и рабочую силу.

Капитальные затраты на приобретение резервуара для хранения кислорода находятся с помощью следующей степенной зависимости:

, (2.8)

где b₁ и b₂ - эмпирически определяемые постоянные, отражающие специфические особенности конструкции резервуара. Капитальные затраты, связанные с приобретением компрессора, вычисляются с помощью аналогичной формулы:

(2.9)

Затраты на эксплуатацию компрессора приближенно описываются выражением b₅t₁H,

где b₅ - затраты на эксплуатацию компрессора единичной мощности в единицу времени.

Таким образом, функцию полных издержек можно записать в следующем виде:

Полные годовые затраты = (2.10)

где
N - число циклов потребления кислорода, реализуемых в течение года,
d - весовой коэффициент.

Задача оптимизации заключается в том, чтобы минимизировать функцию (2.10) путем соответствующего выбора значений F, V, Н и р, удовлетворяющих уравнениям (2.3) и (2.4), а также неравенствам (2.5) и (2.6).

Решение сформулированной задачи в существенной степени зависит от выбора параметров цикла (N, D₀, D₁, t₁ и t₂), стоимостных параметров (a₁, a₂, b₁-b₅, и d) и физических параметров (Т, р₀, k₂, z и М).

В принципе эту задачу можно решить путем исключения V и Н из формулы (2.10) с помощью (2.3) и (2.4); в результате получается задача с двумя переменными. Если затем изобразить линии уровня функции полных затрат на плоскости с координатами F и р, а также учесть неравенства (2.5) и (2.6), то можно найти точку минимума.

Вариант 5

В качестве примера применения метода штрафных функций рассмотрим задачу оптимального проектирования щита люка. Отверстие прямоугольной формы шириной l₀=600 см должно быть покрыто полыми брусками из алюминия длиной l₀ и шириной в 6 см. Покрытие должно выдерживать максимальную удельную нагрузку до 1000 кг/м³ .

a)

б)

Рисунок 1 - Условные обозначения размеров щита.

В качестве переменных задачи (конструктивных параметров)- приняты следующие: x₁=t_f - толщина стенок и x₂=h - высота бруска (рис. 1а,б).

Приняты также следующие предположения:

1. Коэффициент Пуассона v=0,3 ;
2. Материал обладает линейной упругостью с модулем Юнга E=7*10⁵ кг/см²
3. Остаточная деформация должна отсутствовать.

При построении модели формируются следующие ограничения:

1) На максимальное касательное напряжение t_max. Полагая, что максимум поперечной силы Q = 1800 кг, для максимального касательного напряжения имеем:

= 450 (1)

2) На максимальное изгибающее напряжение s_bmax . На основе предварительного анализа конструкции получен максимальный изгибающий момент M = 2,7*10₄кг/см. Для изгибающего напряжения, действующего на стенки, имеем

(2)

3) На максимальный прогиб d_maxpl₀ , где p=0,025. Величина прогиба определяется по формуле (3)

где q₁=q₀b, и для величины I принята аппроксимация (4)

4) На изгибающее напряжение в стенках. Изгибающее напряжение в стенках выражается формулой

(5)

В результате задача оптимального проектирования формируется с учетом следующих ограничений:

;
;
; (7)
;
h >= 0; t_f >= 0;

Критерием оптимальности является масса щита на единицу длины F(t_f, h) = h +120 t_f (8)

Необходимо оптимизировать данную целевую функцию с помощью метода случайного поиска и затем проверить полученный результат методом штрафных функций.

Вариант 6