Описание алгоритма

Значения функций ограничений и критерия оптимальности полностью определены, если задана зависимость h(r). Чтобы представить задачу оптимального проектирования как задачу варьирования многомерного вектора конструктивных параметров, производится аппроксимация зависимости h(r) некоторой кусочно-линейной функцией. С этой целью производится разбиение радиуса диска на m частей:

a₁ < a₂ <...< a_m-1 < a_m (3.9)

На каждом отрезке строится линейная функция, аппроксимирующая соответствующий участок изменения h(r) (см. рис. 1)

Если толщина диска задана в точках разбиения величинами

h(a_j)=b_j, j=1,2,...,m, (3.10)

то кусочно-линейная аппроксимация полностью определена формулой

Подставляя формулу (3.11) в критерий оптимальности (3.1), получаем следующее выражение:

Таким образом, критерий оптимальности представляется как нелинейная функция конечного числа переменных, определяющих геометрию диска.

Задание разбиения диска фиксированными точками a₁, a₃, a₄,..., a_m и переменной a₂ дает возможность перейти к следующей постановке задачи оптимального проектирования диска.

Предположим, что значения b₁ = b₂ и b_m = b_m-1 фиксированы. Тогда остальные проектируемые параметры составляют вектор x = (b₃, b₄,..., b_m-2, a₂) и размерности m-3.

Ограничения на геометрию диска являются следствием (3.8) и записываются в виде

b_j e₁, j = 3...m-2; a₁+ e₃ a₂ a₃ - e₂ (3.13)

где e₁, e₂, e₃ - заданные величины. В векторной форме эти ограничения могут быть представлены неравенством

l x u (3.14)

Чтобы представить ограничение (3.5) в соответствии с принятым разбиением, запишем его отдельно для каждого участка. При этом будем предполагать разбиение таким, что изменением h(r) внутри каждого участка можно пренебречь.

Уравнение (3.5) для каждого участка принимает более простую форму:

что позволяет получить общее решение в виде

где с₁ и с₂ - постоянные, получаемые следующим методом:

В начальной точке

Пусть r_исходн = a[1]; E= 2*10¹⁰; n=0,3
Тогда приравняв e_{qисходн} и e_{r исходн} и подставив числовые значения, получим:

следовательно с₁=1,4*10^-3 и c₂=0,084*10^-3

Отсюда с помощью (3.3) и (3.4) получаем выражение для сил вращения:

Для проектируемой конструкции определяются также силы s_r, s_q в точках r₁,r₂,...,r_n. Ограничение (3.7) записывается отдельно для каждого интервала [r_j-1,r_j]. Имеем:

откуда ввиду (3.7) получаем:

Вектор функций ограничений может быть записан в виде

Пределы его изменения в соответствии с условием (3.16) записываются с помощью неравенства

где L=(0, 0,..., 0) и U=(t₀, t₀, t₀).

Таким образом, задача оптимального проектирования диска паровой турбины сводится к поиску минимума критерия оптимальности (3.12) при ограничениях (3.16) и (3.17) путем варьирования вектора x=(b₃,..., b_n-2, a₂).

Вариант 7

Посылка, которую должны отправить по почте, имеет форму прямоугольника с размерами x₁, x₂, x₃. При отправлении посылки накладываются следующие ограничения: x₁<=120, x₂<=11, x₃ <= 42 и x₁+x₂+2x₃<=72. Найдите размеры, при которых объем будет максимальным. (Это модифицированная Розенброком задача о почтовой рассылке).

Вариант 8

Посылка, которую должны отправить по почте, имеет форму прямоугольника с размерами x₁, x₂, x₃. При отправлении посылки накладываются следующие ограничения: x_i<=42, x_i<=42. Найдите размеры, при которых объем будет максимальным. (Это модифицированная Розенброком задача о почтовой рассылке).

Вариант 9

Открытая коробка, изготовляемая из тонкого листа железа, имеет высоту z и прямоугольное основание с размерами x и y. Основание и стороны имеют толщину, равную d (малая величина), а стороны длиной y имеют толщину 2d. Если количество материала фиксировано, то покажите, что объем коробки максимален при x=2y=4z.