Задача о нахождении размеров балки

Описание задачи.

Задана строительная конструкция, состоящая из балки А и жесткой опоры В. Балка А крепится на жесткой опоре В с помощью сварного соединения. Балка изготавливается из стали и должна выдержать нагрузку F = 2721,5 кг. Размеры балки, толщина, ширина сварного шва, а также марка стали выбираются таким образом, чтобы полные затраты были минимальными.

Рисунок 1 - Нагруженная балка.

Система состоит из балки А и сварного шва, необходимого для крепления балки к опоре В. Независимыми, или управляемыми, переменными служат размеры:

x=(x₁, x₂, x₃, x₄ )= (h, l, t, b )
х₁= h - ширина сварного шва;
x₂= l - глубина заделки балки;
x₃= t - высота балки;
x₄= b - ширина балки;
k - марка стали.

Математическая задача сводится к поиску минимума функции цели F(x)(1), представляющую полные затраты на реализацию строительной конструкции.

F(x)=(1+C₃)X₁2X₂+C_4[K]X₃X₄(L+X₂) min (1)

Независимы, или управляемыми, переменными служат размеры

h- ширина сварного шва;
l- глубина заделки балки;
t- высота балки;
b- ширина балки.

Длина балки предполагается равной 35,56 см. Для удобства записи представим введенные переменные как компоненты неизвестного вектора Х, где X₁=h; X₂=l; X₃=t; X₄=b;

X = [ X₁, X₂, X₃, X₄ ]= [ h, l, t, b ]

Характеристическим показателем качества проекта служат затраты на построение сварной группы. Основными стоимостными характеристиками такой группы являются С₀ затраты на подготовительные работы, С₁ затраты на сварочные работы и С₂ стоимость материалов, т. е.

F(x)=C₀+C₁+C₂,