Предприятие может выпускать два вида корпусной мебели. На их изготовление идет древесина трех видов. Запасы древесины на предприятии, нормы их расхода aij (i=1,2,3; j=1,2), себестоимость сj и оптовые цены указаны в табл.№1. Из-за брака в процессе производства расход древесины зависит от объема xj производства изделий и в первом приближении выражается линейной функцией aij + xj , а себестоимость продукции - функцией cj + 0,1xj . Изделия могут выпускаться в любых соотношениях, так как сбыт обеспечен. Предприятие обязано с целью изучения спроса населения выпустить не менее двух комплектов каждого вида мебели. Составить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли.
Таблица 1.
Порода
Запас сырья, м3
Нормы расхода на изделие вида
Сосна
Береза
Дуб
Себестоимость, млн. грн.
Цена, млн. грн.
Постановка задачи.
1. В качестве показателя эффективности целесообразно взять прибыль предприятия за операцию (в млн. руб.).
2. В качестве управляемых переменных задачи следует взять:
· x1 - количество комплектов корпусной мебели 1;
· x2 - количество комплектов корпусной мебели 2.
3. Целевая функция:
W = [7 - (5+0,1x1)]x1 + [13 - (10+0,1x2)] x2 max,
или
W = 2x1 - 0,1x12 + 3x2 - 0,1x22 max.
4. Ограничения:
4.1. По использованию сосны, м3:
(10+x1)x1 + (20+x2)x2 100.
4.2. По использованию березы, м3:
(20+x1)x1 + (10+x2)x2 120.
4.3. По использованию дуба, м3:
(20+x1)x1 + (10+x2)x2 150.
4.4. Обязательства по контракту, шт.:
x1 2.
4.5. Областные ограничения:
x2 2.
Задача сводится к нахождению неотрицательных x1* и x2*, удовлетворяющих нелинейным ограничениям и доставляющих максимум нелинейной целевой функции.
Вариант .2. Распределение топлива в силовых установках.
Каждый из двух электрических генераторов может работать на жидком топливе и газе или в любом их сочетании. Суммарная мощность, развиваемая обоими генераторами, должна составлять 50 МВт. Потребление газа ограничено 10 ед./ч. Желательно выбрать схему работы каждого генератора так, чтобы минимизировать потребление жидкого топлива.
Согласно кривой, отражающей эксплуатационные характеристики генератора 1, затраты топлива на обеспечение выходной мощности х1 МВт составляют
w1 = 1.4609 + 0.15186x1 + 0.00145x12, (4.2.1)
w2 = 1.5742 + 0.1631x1 + 0.001358x12, (4.2.2)
где w1 и w2 - затраты жидкого топлива и газа в час соответственно.
Аналогично для генератора 2 затраты топлива на обеспечение выходной мощности х2 МВт составляют
у1 = 0.8008 + 0.2031х2 + 0.000916х22, (4.2.3)
у2 = 0.7266 + 0.2256х2 + 0.000778х22, (4.2.4)
где у1 и у2 - затраты жидкого топлива и газа в час соответственно.
По эксплуатационным характеристикам генераторов х1 может изменяться в диапазоне
18 х1 30, (4.2.5)
а х2 - в диапазоне
14 х2 25, (4.2.6)
Предположим, что разные виды топлива могут комбинироваться аддитивным образом, т.е. для любого значения выходной мощности х1* любая линейная комбинация топливных компонент l1w1(x1*)+(1-l1)w2(x1*),
где 0l11, также дает мощность, равную х1*. Подобное предположение верно и для генератора 2.
Задача теперь формулируется следующим образом: требуется определить мощность каждого генератора х1 и х2 и доли использования разных видов топлива l1 и l2 так, чтобы минимизировать общее потребление жидкого топлива:
f = l1w1(x1)+ l2y1(x1)
при ограничении на использование газа
(1-l1)w2(x1)+(1-l2)y2(x2) 10, (4.2.7)
ограничении на суммарную мощность
х1+х2=50 (4.2.8)
и ограничениях на переменные (4.2.5) и (4.2.6), а также
0 l1 1 и 0 l2 1. (4.2.9)
Используя равенство (4.2.8), можно исключить переменную х2 и свести исходную задачу к задаче, содержащей три переменные, одно нелинейное неравенство (4.2.7), неравенства (4.2.9) и
25 х1 30;
последнее получается из (4.2.5), (4.2.6) и (4.2.8)
В работе [1] показано, что при начальном решении
z1 =20, l1=1/2, l2=1/2
и оценках границ начального интервала
z1=20, z2=1, z3=1
решение с точностью 0.1% достигается при реализации 55 серий по 100 пробных точек в каждой. Для получения точности в 0.01% необходимо 86 серий или 86000 пробных точек. Оптимальное решение имеет вид
f=3.05 ед.кол.нефти/час,
х1=30, х2=20,
l1=0 и l2=0.58.
Очевидно, что количество пробных точек 5500 итераций для решения задачи с целевой функцией и единственным нелинейным ограничением третьей степени слишком велико. Кроме того, требование дополнительных 3100 пробных точек для повышения точности на один знак неприемлемо.
max,
100.
2.