При решении уравнения (1) (см. выше метод половинного деления) методом Ньютона сначала находят (подбирают) значения x=a и x=b такие, чтобы f(a)×f(b)<0 и проверяют:
1) является ли функция y=f(x) непрерывной в [a, b];
2) имеет ли непрерывные и знакопостоянные первую f'(x) и вторую f''(x) производные в [a, b].
Если условия 1), 2) выполнены, а это означает, что в (a; b) содержится один корень x* уравнения (1), то из двух точек A(a; f(a)) и B(b; f(b), лежащих на кривой y=f(x), выбирают ту, для которой значение функции и второй производной одного знака. Пусть, например, это будет точка В, т.е. f(b)×f''(b)>0.
Первый шаг метода Ньютона состоит в том, что в точке В проводят касательную к графику функции y=f(x) и определяют точку, обозначим её x1, пересечения касательной с осью ОX по формуле
, (2)
где для удобства обозначим x0=b.
На втором и последующих шагах выполняют те же действия, что и на первом шаге, т.е. по формуле, аналогичной формуле (2)
, где n=2,3,…, определяют точки (числа) x2, x3, … xn, являющиеся приближенными значениями корня x*. Процесс уточнения корня можно закончить, например, при выполнении условия |xn-xn-1|<e и |f(xn)|<e и положить x*»xn.
