Методы интегрирования

1. Для вычисления определённого интеграла необходимо сначала вычислить соответствующий ему неопределённый интеграл (если это возможно), а затем использовать формулу Ньютона – Лейбница: , т. е. определённый интеграл от непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x) равен приращению любой её первообразной F(x) на этом отрезке.

Пример: .

При вычислении определённого интеграла часто используются метод замены переменной и метод интегрирования по частям, которые имеют некоторые отличия от вычисления неопределённого интеграла.

2. Замены переменной в определённом интеграле. Возвращаться к старой переменной не требуется, но необходимо не забывать менять пределы интегрирования, то есть , где .

Пример: 3. Интегрирование по частям определенного интеграла заключается в использовании формулы: .

Пример:

4. Приближенные методы вычисления интегралов. При решении ряда прикладных

Приближенные вычисления
Формула средних прямоугольников
Формула трапеции
Формула парабол (Симпсона)

задач чаще всего приходится сталкиваться с вычислением «неберущихся» определённых интегралов (когда первообразные не выражаются через элементарные функции). Существуют различные формулы для приближённых вычислений определённых интегралов с любой степенью точности.

Пример. Налог на имущество предприятия можно вычислить приближённо по формуле трапеций с разбиением года на 12 месяцев: N= , где f(0) – стоимость имущества на 1 января; f(1) – стоимость имущества на 1 февраля; …; f(11) – стоимость имущества на 1 декабря; f(12) – стоимость имущества на 1 января следующего года.

Приложения определённого интеграла

Геометрические
Площадь плоской фигуры	, , , если на отрезке [a;b]
Объем тела вращения	, , где S(x) – площадь сечения тела
Длина дуги плоской кривой
Площадь поверхности вращения

Механические
Перемещение (путь)	, где – скорость, t - время
Работа переменной силы (переменной мощности)	, , где F – сила, N – мощность
Масса тонкого стержня	, где – плотность
Электрический заряд	, где – сила тока
Количество теплоты	, где – теплоемкость