Методы интегрирования

Таблица неопределенных интегралов

	Неопределённый интеграл	Первообразная			Неопределённый интеграл	Первообразная
1.	;			14.
2.	;			15.
3.	;			16.
4.				17.
5.				18.
6.				19.
7.				20.
8.				21.
9.				22.
10.				23.
11.				24.
12.				25.
13.				26.

Методы интегрирования

1. Интегрирование по частям:

, где и

1. Интегрирование простых дробей:

2.1. , где А, а – вещественные числа

2.2. , где А, а – вещественные числа; к=2, 3, 4, …

2.3. , где M, N, p, q – вещественные числа

, где .

2.4. , где M, N, p, q – вещественные числа; m=2, 3, 4, …

Здесь - рекуррентная формула

1. Интегрирование правильных дробей: - правильная рациональная дробь

Если знаменатель разложен на простые множители , то исходную дробь можно представить в виде суммы простых дробей:

, где - неопределенные коэффициенты. Для их определения все дроби приводят к общему знаменателю , а затем приравнивают в числителе коэффициенты справа и слева при одинаковых степенях x .

1. Интегрирование неправильных дробей: - неправильная рациональная дробь; интегрирование неправильных дробей сводится к интегрированию правильной дроби путем выделения целой части , т.е.: , где - многочлен.
2. Интегрирование простейших иррациональностей: , где r, s – рациональные числа. Применяется метод рационализации подынтегрального выражения с помощью замены: , где m – наименьший общий знаменатель показателей r и s .
3. Интеграл от дифференциального бинома: , где a, b – постоянные; m, n, p – рациональные числа.

Используется метод рационализации подынтегрального выражения по теореме Чебышева:

6.1. Если p – целое число, то применяется подстановка , где s - наименьший общий знаменатель дробей m и n.

6.2. Если – целое число, то применяется подстановка , где s - знаменатель дроби p.

6.3. Если – целое число, то применяется подстановка , где s - знаменатель дроби p.

7. Интеграл вида рационализуется с помощью подстановок Эйлера:

7.1. Если , то применяется подстановка , откуда

7.2. Если , то применяется подстановка

7.3. Если , где и - различные действительные корни квадратного трехчлена, то применяется подстановка

8. Интегрирование тригонометрических функций:

8.1. Интеграл вида реализуется с помощью универсальной подстановки: . Тогда

8.2.1. Если функция нечетная относительно синуса, то применима подстановка: . Тогда .

8.2.2. Если функция нечетная относительно косинуса, то применима подстановка: . Тогда .

8.2.3. Если функция четная относительно синуса и косинуса, то применима подстановка: . Тогда .

8.3. При интегрировании произведений синусов и косинусов используются следующие тригонометрические формулы:

; ;

8.4. Вычисление интегралов вида

8.4.1. Если m – нечетное положительное целое число, то применима подстановка:

; .

Если n – нечетное положительное целое число, то применима подстановка:

; .

8.4.2. Если m+n – четное отрицательное целое число, то применима подстановка:

; .

8.4.3. Если m и n – четное неотрицательные числа, то применимы формулы понижения порядка:

;

9. Интегрирование гиперболических функций:

При интегрировании гиперболических функций применяют следующие формулы:

; ; ;