Расчет ARC-фильтров на базе частотных соотношений, выраженных преобразованием Лапласа.

Передаточная функция фильтров в операторной форме имеет вид

(10.35)

где U_вых(p) и U_вх(p) –выходное и входное операторные напряжения соответственно. Передаточные функции фильтров Н(р) имеют вид дробно-рациональной функции комплексного переменного р:

(10.36)

где W(р) – четный или нечетный полином; U(p) – полином Гурвица.

Полином Гурвица степени (порядка) n имеет вид

. (10.37)

У него все коэффициенты a_n вещественны и положительны, ни один из них не равен нулю, а все его нули лежат в левой полуплоскости комплексного переменного р.

Элементной базой ARC-фильтров с сосредоточенными параметрами являются пассивные элементы – резисторы и конденсаторы. В качестве активного элемента используется источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН). Это активный четырехполюсник, являющийся управляемым источником (идеальный усилитель) со следующими свойствами:

1) выходная или управляемая величина пропорциональна входной или управляющей величине U₁, где к – вещественная положительная величина является управляющим параметром;

2) входная управляющая величина не зависит от выходной управляемой величины, так что нет передачи сигнала от выхода ко входу (т.е. имеется активный односторонний или однонаправленный элемент).

Условное изображение ИНУН с конечным коэффициентом усиления приведено на рис.10.7 а,б. Его определяющие уравнения имеют вид

(10.38)

Входное сопротивление ИНУН равно бесконечности (Z_вх = ∞), а выходное – нулю (Z_вых = 0). При к › 0 имеем неинвертирующий усилитель (рис.10.7, в), а при к ‹ 0 – инвертирующий (рис. 10.7, г)

а) б) в) г)

Рис. 10.7. Схемы операционных усилителей

Прежде всего, необходимо убедиться в эквивалентности ARC-фильтра LC-фильтру в смысле поведения их коэффициентов передачи. Рассмотрим это на примере LC-фильтра нижних частот, представленного на Рис.10.8.

Рис.10.8. Схема LC-фильтра нижних частот

Комплексный коэффициент передачи этого фильтра имеет вид:

Произведя замену , получим:

(10.39а)

В качестве исходной схемы ARC ФНЧ звена второго порядка, реализующей неинвертирующий (положительный) конечный коэффициент усиления к, примем схему с ИНУН рис.10.9,а.

а) б) в)

Рис. 10.9. Операционный усилитель с обратной связью

Вычислим операторную передаточную функцию. Для этого составим уравнения по методу узловых напряжений для узлов 1 и 2 схемы, представленной на рис.10.9.а):

где

Кроме того, для операционного усилителя:

Решая совместно эти уравнения, найдем передаточную функцию:

или

(10.39б)

где

, (10.40)

- частота среза ФНЧ.

Полученный результат свидетельствует об эквивалентности схемы операционного усилителя с обратной связью LC-фильтру нижних частот второго порядка (сравните 10.39а и 1039б)

В этих формулах В и С - нормированные коэффициенты, их значения для фильтров НЧ Баттерворта приведены в таблице 10.9, а для ФНЧ Чебышева – в табл. 10.10.

Удовлетворяющие уравнению (10.40) значения сопротивлений определяются по формулам:

(10.41)

Величина К ≥ 1 представляет собой коэффициент усиления ИНУН, а также и коэффициент усиления фильтра.

Номинальное значение емкости С₂ выбирается близким к значению

, мкФ, (10.42)

а номинальное значение емкости C₁, удовлетворяющим неравенству

(10.43)

(предпочтительно возможное наибольшее номинальное значение), что гарантирует вещественное значение R_I.

Для фильтров Баттерворта и Чебышева нечетного порядка одно звено должно обладать передаточной функцией первого порядка вида

(10.44)

где К – коэффициент усиления звена при К › 1, а С задается как коэффициент звена первого порядка в табл. 10.9 и 10.11.

На рис.10.9, б приведена схема, которая позволяет реализовать передаточную функцию (10.44). На рис.10.9,в приведена схема звена ФНЧ первого порядка с единичным коэффициентом усиления. Значение емкости C_I должно выбираться близким к значению

, мкФ, (10.45)

при этом значения сопротивлений будут

(10.46)