Полосовой ARC – фильтр

Полосовой ARC – фильтр реализуется как каскадное соединение вида:

Для создания ARC-фильтров любого порядка (четного и нечетного) используется каскадное соединение фильтров второго и первого порядка в соответствующей комбинации:

Рис.10.11. Частотная характеристика

Полосового фильтра

Рис. 10.12. Порядок создания фильтров третьего и четвертого порядка

Методика расчета ARC-фильтра.

Вначале по формулам (10.20) или (10.21) определяют порядок фильтра n. Если n четное, то фильтр состоит из n/2 звеньев второго порядка, при n нечетном из (n-1)/2 звеньев второго порядка и одного звена первого порядка, соединенных каскадно. Затем заданный коэффициент К распределяется между звеньями так, чтобы

, (10.47)

где К₁, К₂…К_n – коэффициенты усиления отдельных звеньев. Затем в зависимости от типа фильтра по одной из табл. 10.9 или табл. 10.10 находят коэффициенты В и С и наконец по формулам (10.41-10.46) значения элементов фильтра.

Для фильтра второго порядка, описываемых уравнением (10.39), собственная частота w и добротность Q_p определяется выражениями:

, . (10.48)

Амплитудно-частотные характеристики звена 2-го порядка фильтра нижних частот имеют вид рис. 10.13,а, если Q › 0,707, и рис. 10.13,б, если

Q £ 0,707.

а) б)

Рис. 10.13. АЧХ звена 2-го порядка ФНЧ при Q › 0,707 (а) и Q £ 0,707 (б):
f_c – частота среза

Передаточная функция всего фильтра определяется как произведение передаточных функций его звеньев в соответствии с примером фильтра, схема которого представлена на рис.10.18. В каждом из сомножителей производится замена , определяется выражение для модуля каждого звена и производится расчет АЧХ всего фильтра (рекомендуется написать программу расчета на компьютере). Затем строится график .

Примеры расчета полиномиальных LC- фильтров

Пример 1а. Рассчитать фильтр нижних частот с максимально плоской характеристикой ослабления (фильтр Баттерворта), если в полосе частот
0 £ f £ f₁ = 30 Гц неравномерность характеристики ослабления не должна превышать DА = 1 дБ, а при частотах f_s ≥ 75 Гц ослабление фильтра не должно быть менее A_s = 30 дБ. Фильтр используется в режиме двусторонней нагрузки при R_r = R_H = 75 Ом. Определить ослабление фильтра на частотах: f₁, f₀, 2f₁, f_s, где f₀ – частота, соответствующая ослаблению в 3 дБ. Записать выражение передаточной функции по напряжению.

Фильтр рассчитать двумя способами: а) при помощи табл. 10.5-10.7;

б) аналитически.

Решение. Вычисляем нормированную частоту W_s = f_s/f₁ = 75/30 = 2,5. По формуле (10.20) определяем порядок фильтра

.

Так как порядок фильтра должен быть целым числом, берем n = 5, т.е. надо рассчитать фильтр пятого порядка:

Расчет при помощи таблиц. Имея в виду схемы рис.10.6, по табл. 10.7 находим две схемы нечетного n = 5 и их параметры: рис.10.14,а (схема с источником напряжения на входе с нормированными параметрами = 0,618, = 1,618, = 2, = 1,618, = 0,618, = = 1) и рис.10.14, б (схема с источником тока на входе, с параметрами с₅ = 0,618, ℓ₄ = 1,618, с₃ = 2, ℓ₂ = 1,618, с₁ = 0,618, g_r = g_H = 1).

Схема рис.10.14,б более экономична, так как содержит два, а не три, как в схеме рис.10.14, а индуктивных элемента.

Денормируя элементы схемы рис.10.14, б по формулам (10.5) и (10.6), вычислим истинные значения элементов:

,

,

,

.

По формуле (10.11) вычислим частоту:

.

Передаточную функцию по напряжению записываем на основании табл. 10.5:

.

Для построения АЧХ фильтра производим замену , находим выражение для модуля АЧХ каждого звена и модуля АЧХ всего фильтра.

Производим расчет и построение АЧХ фильтра.

Расчет ослабления проводим по формуле (10.9 а).

Аналитический расчет фильтра.

Вычисляем S_k для нечетных n по формуле (10.13 б):

где k = 1, 2, … 2n. Выберем те S_k, которые имеют отрицательные вещественные части. Это будет при k = 3, 4, 5, 6, 7:

n = 5 k = 3 ;

n = 5 k = 4 ;

n = 5 k = 5 .

Вычислим знаменатель передаточной функции:

Из полученного результата следует, что имеет место совпадение со значениями табл. 10.5. Функция фильтрации по (10.28) h(S) = S⁵.

Вычисляем нормированное входное сопротивление по (10.27), берем верхние знаки:

Разложим полученное выражение в цепную дробь:

а) делим числитель на знаменатель

первый остаток

б) делим первый делитель на первый остаток:

второй остаток

в) делим второй делитель на второй остаток:

третий остаток

г) делим третий делитель на третий остаток:

четвертый остаток 1

д) делим четвертый делитель на четвертый остаток:

0 1 0

пятый остаток 1

е) делим пятый делитель на пятый остаток:

0 1 0

Получена схема рис.10.14,а). Ее результаты совпадают с табл. 10.7.

а) б)

Рис.10.14.Схемы фильтров нижних частот Баттерворта
с разным входным сопротивлением

Если в формуле (10.27) взять нижние знаки, то будет получена схема, которая представлена на рис.10.14,б.

Пример 1б. Рассчитать аналитически и с использованием табл. 10 фильтр Чебышева нижних частот, нагруженный двусторонне по данным: граничная частота полосы пропускания f₁ = 30 Гц, максимальное ослабление в этой полосе не должно превосходить DА = 30 дБ. Сопротивления R_r = R_H = 75 Ом.

Рассчитать ослабление при частотах f₁, f_s, 1,2 f_s, 2 f_s и построить кривую ослабления. При построении кривой ослабления точки расчета брать подробно.

Решение. По (10.21) определяем порядок фильтра

Итак, берем n = 3.

По (10.17) вычисляем вспомогательные величины:

;

Вычисляем нормированные значения полюсов по (10.17):

.

· n = 3 k = 1 ;

· n = 3 k = 2 ;

· n = 3 k = 3 .

Вычисляем произведение двух сопряженных комплексов:

Определяем полином Гурвица – знаменатель передаточной функции:

.

В соответствии с табл. 10.1 функция фильтрации будет иметь вид

.

Входное сопротивление (берем верхние знаки) в формуле (10.27):

Разложим полученное выражение в цепную дробь:

а) делим числитель на знаменатель:

первый остаток

б) делим первый делитель на первый остаток:

второй остаток

в) делим второй делитель на второй остаток:

третий остаток

г) делим третий делитель на третий остаток:

Полученному результату соответствует схема рис.10.15,а.

Если в формуле (10.27) взять нижние знаки, то будет получена схема рис. 10.15,б. Эта схема более технологична, так как содержит один (а не два, как 10.15,а, индуктивный элемент. Полученные значения для совпадают с данными в таблице 10.8.

Расчет ослабления проводим по формуле (10.18):

Таблица 10.3

Результаты расчета ослабления

На рис.10.15, а, б даны две схемы с указанием нормированных элементов. На рис.10.15, д построена кривая зависимости ослабления от частоты. Гиперболический ареа-косинус c вычисляем по формуле (10.22).

Расчет истинных номинальных значений элементов фильтра. По (10.5) и (10.6) находим:

Соответствующие схемы приведены на рис.10.15, в и 10.15, г.

а) б)

в) г)

Рис.10.15. Схемы фильтров нижних частот Чебышева с разным входным сопротивлением

д)

Пример 2а. Рассчитать параметры симметричного полосового двусторонне нагруженного фильтра Баттерворта по данным: граничные частоты полосы пропускания f_-1 = 10кГц, f₁ = 14,4 кГц, в этой полосе ослабление должно быть не более 3 дБ, а при частоте f_s1 = 16 кГц ослабление должно быть не менее A_s = 17 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра R_r = R_H = 600 Ом.

Рассчитать ослабление фильтра при частотах f₀, f₁, f_s1, 18, 20, 24 кГц. Начертить график зависимости А от f.

Решение. По (10.32) определяем среднюю геометрическую частоту ПФ и граничную частоту нижней полосы задерживания:

.

С помощью частотного преобразования элементов и характеристик ПФ пересчитываем его в фильтр-прототип НЧ. По (10.24) вычисляем коэффициент преобразования ширины полосы пропускания ПФ в ФПНЧ:

.

По (10.23, в) нормированная частота ФПНЧ

.

Далее по (10.20) определяем порядок фильтра-прототипа:

. Принимаем n = 5.

Схемы и нормированные элементы фильтра-прототипа пятого порядка берем, согласно рис.10.6. и из табл. 10.7. Схема рис. 1.3, а с источником тока, схема 13б с источником напряжения

.

В соответствии с табл. 10.5 от схем ФПНЧ (рис.10.15 а и б) переходим к схемам ПФ путем замены каждого индуктивного элемента последовательным соединением индуктивности ℓ_i индуктивностью ℓ_in = kℓ_i и емкостью C_1n = 1/kℓ_i, а каждой емкости C_j – заменой параллельным соединением емкости C_1n = kℓ_j и индуктивностью ℓ_in = 1/kℓ_j.

В результате получим схемы полосового фильтра с нормированными элементами, показанными на рис.10.15, в и г.

Нормированные элементы полосового фильтра по (30, в) равны:

а) б)

в) г)

Рис.10.16. Схемы и характеристика ослабления ПФ Баттерворта с разными источниками на входе

д)

Для перехода к денормированным элементам по (10.5) определяем к и к :

=7,96 ,

По (10.6) вычисляем номинальные значения индуктивностей и емкостей полосового фильтра:

;

;

;

;

;

.

Расчет ослабления полосового фильтра.

При этом следует иметь в виду, что его надо вести по соответствующим частотам ФПНЧ.

В табл. 10.4 приведены пары частот f' и f'' ПФ, связанные соотношением , и соответствующая им нормированная частота ФНЧ, определяемая по (10.23 в), и ослабление, которое определяется по формуле (10.9 а). В таблице 10.4 для каждой частоты Ω рассчитано по (10.23 в).

Таблица 10.4

Таблица пар частот ПФ

На основе полученных результатов в табл. 10.4 на рис.10.16, д представлена кривая ослабления ПФ.

Пример 2б. Рассчитать параметры симметричного полосового фильтра Чебышева, нагруженного двусторонне по данным: граничные частоты полосы пропускания f_-1=8 кГц, f₁=12,5 кГц, в этой полосе ослабление должно быть не более ΔА=1дБ, а при частоте f_S2=16 кГц и более ослабление должно быть не менее А_S=18 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра R_r = R_H = 600 Ом. Элемент фильтра взять из табл. 10.8. Рассчитать ослабление фильтра при частотах f₀ , f_-1 , f₁ , f_S1 , 2f_S1 . Начертить кривую ослабления в зависимости от частоты.

Решение. Определим порядок фильтра n. Для этого по (10.23 в) и (10.24) найдем частоту низкочастотного прототипа Ω _S , где по (10.25)

кГц,

По формуле (10.21) с учетом (10.22) получим

Итак, порядок ФПНЧ должен быть взят равным 3. Схема фильтра, согласно рис.10.6, б имеет вид рис.10.14, а.

По табл. 10.8 для ΔА = 1 и n = 3 нормированные элементы ФПНЧ имеют значения: С₁ = 2,024; ₂ = 0,994; С₃ = 2,024. Можно было взять схему согласно рис.10.6, в, ей соответствовали бы элементы: '₁ = 2,024; С₃ = 0,994; '₃ = 2,024.

а) б) в)

Рис.10.17.Схемы прототипа и полосового фильтра Чебышева третьего порядка
и его характеристика ослабления

От схемы рис.10.17, а, согласно формулам, переходим к схеме полосового фильтра рис.10.17, б, нормированные элементы которого равны:

В этих формулах согласно (10.24),

Переход к номинальным величинам осуществляем по (10.5) и (10.6):

Расчет ослабления проводим по (10.18), например, для f₆= 16 кГц по (10.23 в)

W = 2,167.

дБ.

Аналогично найдем ослабление для других частот:

· при кГц ; при кГц , дБ,

· при кГц дБ, при кГц дБ и т.д.

Кривая зависимости ослабления от частоты дана на рис.10.17, в.

Пример расчета ARC ФНЧ

Пример 3. Рассчитать активный RC-фильтр Чебышева нижних частот по следующим данным: частота среза кГц, ослабление в полосе пропускания не должно превышать дБ, а при частоте кГц ослабление должно быть не менее дБ, коэффициент усиления фильтра . Записать выражение и построить передаточную функции фильтра.

Решение.

По (10.21) определяем порядок фильтра

Принимаем .

Следовательно, фильтр состоит из двух звеньев второго порядка и одного звена первого порядка. Коэффициент усиления К разобьем между отдельными звеньями так: для первого звена К₁=3, второго К₂=2,5, третьего – К₃=2,0.

По табл. 10.10 для первого звена находим коэффициенты: В =0,179, С =0,988. Емкость С₂ определяем по формуле (10.42):

С₂

Емкость С₁ находим по (10.43)

.

Принимаем .

Вычисляем резистивные сопротивления по (10.41):

=88913 ОМ 88,9 кОМ;

Ом=1,44 кОм;

(3-1)=135,5 кОм;

кОм.

Аналогично проводим расчет для второго звена второго порядка. По табл. 10.10 находим В =0,468, С =0,429. Как и выше, по (10.42) . Расчет С₁ по формуле (10.43) дает , принимаем . В результате вычислений по формулам (10.41) при К= К₂=2,5 получим:
R₁=34 кОм, R₂=17,2 кОм, R₃=85,3 кОм, R₄=128 кОм.

И, наконец, для третьего звена первого порядка по табл. 10.10 находим С =0,289. Величина К₃=2. Значение С₁ выбираем по (10.45)

мкФ Ф.

Резистивные сопротивления рассчитываем по (10.46):

Ом=55,07 кОм,

/ (2-1) =110,14 кОм,

кОм.

Частота среза

Передаточная операторная функция фильтра в соответствии с (10.39) и (10.44):

.

Схема фильтра дана на рис.10.18.

Рис.10.18. Схема ARC-фильтра нижних частот пятого порядка