Порядок расчета полиномиальных фильтров

Порядок расчета полиномиального ФНЧ

Вначале следует определить порядок n фильтра-прототипа нижних частот по одной из следующих формул:

· для фильтра с плоской характеристикой в ПП (фильтра Баттерворта)

(10.20)

· для фильтра с равномерно колебательной характеристикой в ПП (фильтр Чебышева) по одной из формул:

, (10.21)

здесь DА – максимально допустимое ослабление в полосе пропускания; A_s – минимально допустимое ослабление в полосе задерживания; - нормированная частота ФНЧ на границе полосы задерживания.

Гиперболический ареа-косинус Arch Ws вычисляется по формуле

при . (10.22)

Значения n, полученные по этим формулам, должны быть округлены до ближайшего целого числа.

В формулах (10.20) и (10.21) значения нормированной частоты для различных типов фильтров имеют следующие выражения:

· для ФНЧ ; (10.23 а)

· для ФВЧ ; (10.23 б)

· для ПФ ; (10.23 в)

· для РФ . (10.23 г)

В (10.23 а, б) f₁ – граничные частоты ПП ФНЧ и ФВЧ, в (10.24) f₁ и f_-1 – граничные частоты ПП ПФ и РФ.

(10.24)

где к – коэффициент преобразования ширины ПП полосового или режекторного фильтра, а

(10.25)

- средняя геометрическая частота ПФ и РФ.

Согласно заданию для фильтра Баттерворта, на частоте f₁ полосы его пропускания, если ослабление DА имеет значение, не равное 3 дБ, то нормированная частота для ФВЧ рассчитывается по формуле

. (10.26)

Синтез двусторонне нагруженного ФНЧ Баттерворта при равных сопротивлениях генератора и нагрузки R_r = R_H = R может быть проведен двояко:

· по известному порядку фильтра n (элементы схем приведены в табл. 10.7 и схемах рис.10.6)

· аналитическим способом на основе формулы входного сопротивления, которая в нормированных величинах имеет вид

, (10.27)

Здесь h(s) – функция фильтрации, для фильтра Баттерворта n-го порядка она равна

. (10.28)

а)

б)

в)

г)

Рис.10.6. Структуры схем ФНЧ

Выражение (10.27) раскладывается в цепную дробь следующего вида:

Z_вх = a₁S + ____________1______________

b₁S + __________1___________

a₂S + _______1_________ (10.29)

b₂S +

….

Выражению (10.27) в случае верхних знаков и в зависимости от четности или нечетности n соответствует пара схем рис.10.6, а для нижних знаков- другая пара схем. (рис 10.6 а, б).

В табл. 10.7 приведены значения нормализованного фильтра Баттерворта, двухсторонне нагруженного при r_r = r_H. Значения величин элементов фильтров нормализованы по отношению к граничной угловой частоте полосы пропускания и по отношению к сопротивлению выходной нагрузки, т.е. таблицы рассчитаны в предположении w₁ = I и r_H = I. На рис.10.6 начерчены два основных типа входных цепей: с источником тока (рис.10.6 а, б) и с источником напряжения (рис.10.6 в, г); рис. 10.6 а, в для n – нечетных, рис.10.6 б,г для n – четных. Нумерация элементов на рисунках соответствует принятой в табл. 10.7.

Синтез двусторонне нагруженного ФНЧ Чебышева при R_r = R_H = R также может быть проведен двояко:

· по табл. 10.8, в которой имеются зависимости от двух параметров (а не от одного, как в фильтре Баттерворта): порядка фильтра n и DА. Поскольку дать сравнительно полные таблицы было бы достаточно громоздко, дается небольшая табл. 10.8 значений элементов для нормализованного чебышевского двусторонне нагруженного фильтра (r_r = r_H = I) при различных значениях ослабления DА для нескольких значений n. Схемы и обозначения элементов в табл. 10.8 те же, что и на рис.10.6.

В табл. 10.8 приведены значения элементов только для нечетных значений n, в ней нет соответствующих значений элементов для четных n. Это объясняется тем, что для этих случаев при r_r = r_H и всех значений неравномерности DА диапазон значений элементов слишком велик, чтобы фильтр можно было физически осуществить;

· синтез ФНЧ аналитическим способом проводится по той же формуле (10.27), что и фильтр Баттерворта. При синтезе фильтра Чебышева функция фильтрации находится так: берется полином Чебышева n-го порядка Тn(W) (табл. 10.1), вычисляется его нормированное значение Vn(W) путем деления Тn(W) на 2ⁿ^-1, в полученном выражении W заменяют на р, при этом все члены полученного многочлена вне зависимости от их знаков считают положительными. Полученное таким образом выражение Vn является функцией фильтрации.

Таблица 10.1

Функции фильтрации полинома Чебышева

n Полином Чебышева Tn(W) Нормированный полином Чебышева Функция фильтрации полинома Чебышева h(p)

W W p

2W² – 1 W² – 0,5 p² + 0,5

4W³ – 3W W³ – 0,75W p³ + 0,75p

8W⁴ - 8W² + 1 W⁴ - W² + 0,125 p⁴ + p² + 0,125

16W⁵ - 20W³ + 5W W⁵ – 1,125W³ + 0,3125W p⁵ + 1,25p³ + 0,3125p

Отметим, что при расчете двусторонне нагруженных фильтров Баттерворта и Чебышева при R_r = R_H для нечетных значений n и любых DА схемы фильтров симметричны относительно вертикальной оси, проведенной по середине фильтра, т.е. каждая половина представляет собой зеркальное отображение другой относительно этой оси.

Порядок расчета фильтров ФВЧ и симметричных ПФ и РФ

Вначале данные этих фильтров с помощью формул (10.30 б, в, г) преобразуются в низкочастотный прототип, порядок которого в зависимости от типа фильтра определяется по (10.20) или (10.21). Затем в соответствии с формулами (10.30) табл.10.2 осуществляется преобразование нормированных элементов ФПНЧ в элементы рассчитываемого фильтра.

Таблица 10.2

Нормированный элемент ФПНЧ	Преобразование в элемент требуемого фильтра	Тип фильтра	№ формул
ℓ_i c_i	ℓ_i c_j	ФНЧ	(10.30, а)
ℓ_i c_j	c_jb=1/ℓ_i ℓ_jb=1/c_j	ФВЧ	(10.30, б)
ℓ_i c_j	ℓ_i_п=kℓ_i c_i_п=1/kℓ_i ℓ_i_п = 1/kc_j c_i_п = kc_j	ПФ	(10.30, в)
ℓ_i c_j	ℓ_ip = ℓ_i c_ip=kℓ_i ℓ_ip=k/c_j c_ip=c_j/k	РФ	(10.30,г)

В формулах (10.30 в, г) к определяется по формуле (10.24).

Из табл. 10.2 видно, что преобразование ФНЧ в ФВЧ состоит в замене нормированных элементов обратными, т.е. W_b = 1/W_H. Отсюда вытекает связь между любой частотой f ФНЧ и соответствующей частотой f_в ФВЧ:

, (10.31)

где – граничная частота ФНЧ.

Преобразование ФНЧ в ПФ основано на симметричном преобразовании частоты, при этом индуктивные элементы преобразуются в последовательное соединение индуктивности и емкости, а емкостные – в параллельное соединение индуктивности и емкости. При преобразовании ФНЧ в РФ происходит замена индуктивности параллельным соединением индуктивности и емкости, а емкости – последовательным соединением индуктивности и емкости. Для ПФ и РФ при задании какой-либо одной частоты полосы задерживания f_-₁ или f₁ другая рассчитывается из формулы

. (10.32)

Для определения любой частоты f_i ФНЧ прототипа по заданным частотам f_i₁ и f_-_i₁ полосового фильтра используется следующая формула:

(10.33)

Для обратного перехода существуют формулы:

(10.34)