Фильтры Чебышева

(фильтры с равномерно колебательной характеристикой)

Для аппроксимации используется полином Чебышева

, где n=1,2,3 и т.д.

, где ε – коэффициент неравномерности в полосе пропускания.

Фильтры Чебышева имеют равномерно колебательную характеристику в полосе пропускания и монотонное возрастание в полосе задержания. Для таких фильтров квадрат модуля передаточной функции:

(10.15)

здесь - полином Чебышева степени n (он является четным или нечетным).

Передаточная функция ФНЧ Чебышева имеет вид

, (10.16)

здесь произведение всех П(s – s_k) также полином Гурвица.

Полюсы передаточной функции фильтра Чебышева, расположенные в левой полуплоскости, рассчитываются по формулам

где (10.17)

Оптимальные свойства чебышевской аппроксимации заключаются в том, что из всех передаточных функций, все полюсы которых лежат в бесконечности, функция Чебышева имеет наименьшую сложность при заданной неравномерности в полосе пропускания и наибольшую крутизну ослабления при переходе к полосе задерживания.

Фильтры Чебышева целесообразно использовать в тех случаях, когда наиболее важным является равномерное прохождение частот во всей полосе пропускания. Однако эти фильтры обладают существенной нелинейной фазовой характеристикой, а, следовательно, и непостоянным временем задержки. Ослабление фильтра Чебышева определяют по формуле

(10.18)

где - полином Чебышева степени n, ε – коэффициент неравномерности, который связан с ρ – коэффициентом отражения на границе полосы пропускания соотношением:

. (10.19)

Например, для ρ = 0,1 DА = 0,044 дБ, для ρ = 0,15 DА = 0,099 дБ.

А) б)

в)

Рис.10.5. Характеристики Чебышева: а - ФНЧ четного и нечетного порядка; б – ФВЧ; в – ПФ.

На рис.10.5. представлены зависимости модуля передаточной функции фильтра Чебышева от нормированной частоты и кривые ослабления ФНЧ, ФВЧ и ПФ для n нечетного и четного.

Таким образом:

1. Количество волн в полосе пропускания увеличивается с ростом порядка n;

2. При n – четных , при n – нечетных ;

3. Количество экстремумов в полосе пропускания (max и min) равно (n+1), включая точки , и ;

4. Крутизна характеристики ослабления в переходной области растет с увеличением порядка фильтра n.