Фильтры Баттерворта

(фильтры с максимально плоской характеристикой)

Для аппроксимации используют полином Баттерворта , где

Если в этом выражении

коэффициенты отвечают условию , а , то

, (10.8)

где .

Для полиномиальных фильтров с характеристикой Баттерворта принято частоту w нормировать на частоте w₀, при которой уменьшается до относительно максимального значения H(0) = I, т.е. когда ослабление составляет 3 дБ (0,35 Нп). При этом A₀ = I и

, (10.9)

. (10.9а)

Такие фильтры называются фильтрами с максимально плоской характеристикой, или фильтрами с характеристиками Баттерворта.

а)

б) в)

Рис.10.4. Характеристики ФНЧ Баттерворта: а - ФНЧ; б – ФВЧ; в – ПФ; максимальное ослабление в полосе пропускания; минимальное ослабление в полосе задерживания; границы переходной области

Передаточные функции фильтров Баттерворта определяются по формуле:

(10.10)

На рис.10.4, а приведены графики модуля передаточной функции и кривые ослабления ФНЧ для двух значений n при ослаблении A на границе полосы пропускания DА = 3 дБ на уровне W = I, а также кривые ослабления для ФВЧ и ПФ Баттерворта. Ослабление в этом случае определяется по (10.9).

Если по условиям задачи ослабление в ПП ФНЧ на его граничной частоте w₁ не должно превышать некоторой величины DА, не равной 3 дБ, то нормирующая частота w₀ вычисляется по формуле:

(10.11)

а ослабление рассчитывается по формуле .

Передаточная функция ФНЧ Баттерворта в нормированных величинах имеет вид

(10.12)

где - полином Гурвица; а .

Значения коэффициентов полиномов Баттерворта приведены в табл. 10.5 Нули полинома Баттерворта рассчитывают по формулам:

· при n – четных:

(10.13 а)

· при n – нечетных:

(10.13 б)

В этих формулах к = 1, 2, … 2n. Из этих 2n значений надо выбрать те n значений, которые для S_k имеют отрицательные вещественные части. Произведение сомножителей (S – S_k), соответствующих всем S_k с отрицательными вещественными частями, образует полином U(s):

. (10.14)

По формулам (10.13 а, б) составлена табл. 10.6 нулей полиномов Баттерворта. На основе использования формулы (10.14) составлена табл. 10.5 коэффициентов полиномов Баттерворта.

Таким образом:

1. Чем выше порядок фильтра «n», тем точнее аппроксимируется заданная АЧХ фильтра.

2. Чем выше порядок фильтра, тем больше крутизна характеристики ослабления фильтра в переходной области.

3. Чем выше порядок фильтра, тем меньше величина ослабления в полосе пропускания.

Примечания: 1. Переходная область – это область частот от до , разделяющая полосу пропускания (ПП) и полосу задерживания (ПЗ) фильтра.

2. При расчете учитывается частота среза , находящаяся между
и .

Недостатки фильтров Баттерворта:

· В полосе пропускания ослабление только на одной
частоте ;

· Мала крутизна характеристики в переходной области .