Решение.

Область G представляет из себя прямоугольник, поэтому двойной интеграл по G записывается в виде повторного следующим образом:

Вычислим внутренний интеграл (при этом x не изменяется, то есть играет роль константы):

Теперь вычислим внешний интеграл :

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение.

Область может быть представлена в виде

Пример 8.Вычислить площадь области G, ограниченной линиями

Решение:Область G представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой , справа прямой . Решая совместно уравнения параболы и прямой, получим точки их пересечения М₁ (3; -2) и М₂ (0; 1). Следовательно, искомая площадь

Пример 9.Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение:Имеем

где G – треугольная область интегрирования, ограниченная прямыми .

Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем

Пример10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение. Область интегрирования G имеет вид.

Согласно формуле объёма имеем

Пример 11.Вычислить объём тела, отсекаемого от эллиптического параболоида плоскостью x = k (k > 0).

Решение. В каждом из четырёх октантов, где x положительно, находится четвёртая часть тела. Исходя из этого, получаем

§3. Двойной интеграл в полярной системе координат.

Пусть на плоскости ОXYодновременно введена и полярнаясистема координат Orφ:

Ор — полярная ось, которая совпадает с осью Ох;

φ—полярный угол;

r— полярный радиус точки М.

Тогда: При замене переменных по этой формуле дифференциал площади в полярной системе координат преобразуется так: используем Якобиан J - "коэффициент искажения" площади при переходе к другой системе координат. А именно