Теорема.

Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 779; Нарушение авторских прав

Если область D определена вполярной системе координат Оrφ, то двойной интеграл в этих координатах вычисляется так:

Пусть D - криволинейный сектор, ограниченный лучами: и кривой - полярные координаты.

Тогда известная формула площади .

Пример 1.Перейти в двойном интеграле по области G к полярным координатам и расставить пределы интегрирования.

Решение. Область G - половина круга:

Область может быть представлена в виде

Ответ:

Пример 2.Перейти в двойном интеграле по области G к полярным координатам и расставить пределы интегрирования.

Решение. Область G - половина круга:

Область может быть представлена в виде

Ответ:

Пример 3.Вычислить двойной интеграл:

Решение:Область интегрирования D изображена на рисунке

Перейдем в этом интеграле к полярным координатам

тогда область D’ будет определяться такими неравенствами:

С учетом формулы:

получаем:

Пример 4.Вычислить интеграл .

Решение. Перейти к полярным координатам.

Ответ:

Пример 5.Вычислить интеграл часть кольца

Решение.Перейти к полярным координатам.

Заметим, что при переходе к полярным координатам справедливо равенство

Поэтому данный интеграл вычисляется следующим образом:

Пример 6. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение (второй способ). Область интегрирования G имеет вид (см. пример 10).

Введём обобщение полярные координаты Тогда

§4. Физические приложения.

Пусть G - материальная пластинка на плоскости xy с плотностью Тогда

- масса пластинки;

- статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу;

- координаты центра тяжести пластинки;

- момент инерции пластинки относительно осей Ох и Оу;

- момент инерции пластинки относительно начала координат.

Пример. Пластинка G задана ограничивающими её кривыми:

- поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Решение. Пластинку расположим в прямоугольной системе координат так, чтобы центры окружностей совпадали с началом координат.

Имеем . Перейдём в двойном интеграле к полярным координатам

При этом область G преобразуется в прямоугольную область.

Имеем

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Решение.	\|	Общие рекомендации студенту по работе над курсом математики.