Пусть
представима интегралом Фурье (т.е.
абсолютно интегрируема на
и
).
(1)
Преобразуем выражение стоящее под интегралом, воспользовавшись формулами Эйлера.

где положено 
Тогда 
Получим выражение для 

сохраняет свой знак
меняет свой знак на противоположный
Другими словами,
чётная, а
нечётная относительно U.
(Эти формулы верны и для U<0, т.е.
)
Итак, в точках дифференцируемости
:
(1), где
(2).
Выражение для
в (1) является комплексной формой интеграла Фурье для функции
. Если в (1) заменить
выражением (2), то получим в (…) дифференцируемости функции
:
(3) или после внесения под знак внутреннего интеграла
получим:
(4).
Правая часть формулы (4) называется двойным интегралом Фурье в комплексной форме.
На основании представления интеграла Фурье в к.ф. и представления функции чётным и нечётным образом
ют преобразования Фурье.