Интеграл Фурье

Пусть определена на бесконечном промежутке (-∞,+∞) удовлетворяет следующим условиям:

1) несобственный интеграл это свойство называется её абсолютной интегрируемостью) на всей вещественной оси.

2) На конечном сегменте представима в виде суммы своего ряда Фурье. (Практически требуют, чтобы на конечном сегменте удовлетворяла условиям Дирихле и была непрерывной.)

Построим для на ( ) разложение аналогичное в некотором смысле разложению в ряд Фурье периодической функции.

Если эти условия выполнены, мы можем рассуждать следующим образом.

Фиксируем некоторое произвольное и напишем разложение функции в ряд Фурье на .

(1)

(2)

Подставляем в ряд (1) выражения для коэффициентов (2).

Последнее выражение имеет место для всех где число.

Пусть я фиксированная (.) .

Рассмотрим предел полученного выражение при . Докажем, что

т.к. сходится, то его частные интегралы ограничены, т.е. что т.к. :

откуда таким образом имеем:

Вводя зависимую от “n” переменную, последовательность, и полагая при

эта сумма (последняя) напоминает интегральную сумму.

С ростом число слагаемых увеличивается, а каждое слагаемое уменьшается. Поэтому естественно, предполагать, что при возрастании эта сумма стремится к интегралу по “U” (строгого доказательства этого факта мы не приводим).

(3) это двойной интеграл Фурье.

Преобразуем правую часть (3).

в U.

(4)

(5)

Равенство (3) доказано в точках непрерывности и следовательно, можно сформулировать достаточные условия разложимости функции в виде (3).

Th. Если:

1) - абсолютно интегрируема

2) На конечном сегменте она удовлетворяет условию Дирихле, то в точках непрерывности имеет место представление (3).

Замечание. Несобственные интегралы в формулах (4) и (5) понимаются в смысле главного значения, т.е. и обозначают через

V.P.

Df. Пусть функция определена на и Пусть Тогда этот предел называется главным значением (по Коши) интеграла

Обозначение:

Замечание. Если Н.И. то очевидно, и главное значение причём

Аналогично вводится понятие главного значения интеграла в изолированной особой точке функции

Пример 1. Н.И. не , но поэтому имеем

Пример 2. Н.И. не , но имеем так, что