Краткие теоретические сведения.

Синтез путем размещения полюсов основан на использовании модели динамической системы во временной области, т.е. в пространстве состояний.

Постановка задачи:Дана линейная стационарная система

и скалярные переменные. Изначальное предположение: задающее воздействие .

u(t)

r(t)

y(t)

x₁(t)

x₂(t)

x_n(t)

K₁

…

K₂

K_n

объект

Рис.4.1. – Структурная схема замкнутой САУ

В общем случае вход объекта является функцией ПС, т.е. закон управления . При синтезе закон управления определяется как где - вектор коэффициентов регулятора, имеет размерность . Закон управления можно записать в виде:

, (4.1)

т.е. сигнал, поступающий на вход представляет линейную комбинацию всех переменных состояния.

Задача синтеза.Определение желаемого положения корней характеристического уравнения замкнутой системы и нахождение коэффициентов , обеспечивающих заданное размещение корней. Коэффициенты модального регулятора определяются из равенства друг к другу двух видов характеристического уравнения замкнутой САУ: желаемого полинома:

и характеристического уравнения замкнутой системы:

В желаемом полиноме и есть корни замкнутой системы, которые определяются исходя из требований к показателям качества (время регулирования и перерегулирование ). Как расположить собственные числа (корни характеристического уравнения) замкнутой САУ исходя из показателей качества (рис.4.2)?

Рис.4.2. – Размещение доминирующей пары с.ч. замкнутой системы

Существуют следующие зависимости: . При , . Отсюда действительная часть корня равна: . Зная угол и прилежащий к углу катет , найдем мнимую часть корня: .

Поскольку обратная связь по переменным состояния не обеспечивает, в общем, высокой точности системы, поэтому задающее воздействие должно быть специальным образом изменено, чтобы добиться нулевых отклонений задания от выхода . На рис. 4.3 изображена структурная схема замкнутой системы с предварительным фильтром, который изменяет задающее воздействие с целью отработки входного сигнала системой без установившейся ошибки.

Рис.4.3. Структурная схема замкнутой системы с предварительным фильтром

По структурной схеме запишем уравнения динамики, выхода и управляющего воздействия на объект:

Запишем уравнение замкнутой системы :

. (4.2)

При , уравнение динамики примет вид:

, выражая отсюда вектор состояния, получим

, тогда уравнение выхода

Запишем статическую ошибку пока без фильтра :

Выберем предварительный фильтр так, чтобы , т.е. можно записать

, при , то

(4.3).

Если не проектировать предварительный фильтр, то нулевую статическую ошибку можно обеспечить за счет отрицательной обратной связи (ООС) по выходу И – регулятора в цепи рассогласования (рис4.4). Разумеется, введение в систему И – регулятора будет увеличивать порядок системы на единицу; если порядок объекта равен n, то система будет иметь порядок n + 1.

Рис. 4.4. Структурная схема замкнутой САУ с ООС по выходу

Запишем уравнения системы:

, (4.4)

где выбираются исходя из желаемого размещения полюсов передаточной функции замкнутой системы. Процедура синтеза заключается в следующем. Подставляя в уравнение динамики, получим:

(4.5)

Затем мы объединим переменную с вектором и образуем таким способом вектор состояния системы с обратной связью .

(4.6)

Уравнению (4.6) можно придать другую форму:

, (4.7)

где , ,

Уравнению (4.7) соответствует характеристическое уравнение

, (4.8)

которое имеет стандартную форму, используемую при синтезе систем путем размещения полюсов. Характеристическое уравнение имеет порядок ( ); следовательно, желаемое характеристическое уравнение мы должны задать в виде:

(4.9)

Таким образом,

(4.10)

В уравнении (4.10) значений известны, а неизвестными являются коэффициентов . Для их определения можно в (4.10) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части и получить систему из линейных уравнений.

Таким образом, в результате проведенных преобразований задача синтеза регулятора состояния для системы с ОС по состоянию и ООС по выходу системы с И-регулятором в цепи рассогласования, сведена к задаче синтеза модального регулятора (по расположению полюсов замкнутой системы), алгоритм которого известен. Однако, прежде чем проектировать регулятор, необходимо проверить, управляема ли система. Это можно проверить по критерию управляемости Калмана или по рангу матрицы . Ранг матрицы Р должен быть равен n+1.