Краткие теоретические сведения

Первые попытки систематизации физических величин восходят еще к XVII веку, когда голландским физиком С. Стевином был установлен принцип возможных перемещений, а Г. Галилей на основе этого принципа дал формулировку “золотого правила” механики. Дальнейшее развитие науки привело к появлению принципа «виртуальной работы», который, по-видимому, явился первым принципом обобщения физических величин. Он позволил обобщить физические величины в разных механических формах движения. Со временем это указало на принципиальную возможность обобщения и систематизации физических величин и в других формах движения.

Впервые принцип виртуальной работы был сформулирован без доказательства швейцарским механиком Д. Бернулли в начале XVIII века, а затем был четко изложен и доказан в 1788 г. французским физиком Ж. Лагранжем.

Виртуальной работой силы называется скалярное произведение силы на виртуальное перемещение точки ее приложения:

, (3.1)

где – виртуальная элементарная работа активной силы , действующей на i-ую материальную точку на виртуальном перемещении .

Для вычисления виртуальной работы силы можно применять все способы, которые применяются для вычисления элементарной работы силы. Разница состоит лишь в том, что элементарная работа совершается в действительности, а виртуальная работа - это воображаемая работа, которая существует только в нашем сознании, так как виртуальное перемещение - мысленное бесконечно малое перемещение.

Считая постоянными силы , , ..., , действующие на точки системы, дадим системе виртуальное перемещение так, чтобы все точки системы имели виртуальные перемещения , , ..., , и подсчитаем сумму виртуальных работ сил системы на этом перемещении:

(3.2)

Эта сумма называется виртуальной работой сил системы.

Уравнение Ж. Лагранжа имеет вид:

, (3.3)

Уравнение (3.3) является первой обобщенной записью закона сохранения энергии в механике. Доказательства Ж. Лагранжа базировались на механических формах движения, соответственно звучали и введенные им понятия: “обобщенная сила” для обозначения , ”обобщенная координата состояния” для обозначения и ”обобщенная работа” для обозначения .

В XIХ веке при создании теории автоматического регулирования был введен принцип малых отклонений координат состояния, позволивший распространить принцип виртуальной работы на любые формы движения независимо от того, линейны ли их характеристики или не линейны. Это, в свою очередь, позволило линеаризовать дифференциальное уравнение динамики и решить с его помощью и с использованием теории комплексного переменного многие практические задачи, возникшие при автоматизации производственных процессов.

А принцип виртуальной работы имеет и сейчас практическое применение при решении ряда задач в механике. Да и сама идея Г. Галилея, Д. Бернулли и Ж. Лагранжа 250 лет спустя после своего провозглашения стала одной из основ решения проблемы обобщения и систематизации физических величин.

Рассмотрим пример получения модели в терминах переменных состояния для платформы с двумя устойчивыми маятниками (рис. 3.1) с помощью принципа виртуальной работы.

Положение объекта полностью определено системой координат ( ). Параметры, которыми характеризуется объект: М – масса платформы; , - массы грузов маятников; , - длины стержней маятников. Переменные, характеризующие динамику объекта: - перемещение платформы; , - углы отклонения маятников от вертикальной оси;

Рис.3.1 Платформа с устойчивыми маятниками

На платформу массой М с двумя устойчивыми маятниками массами , действует внешняя сила . На основании второго законы Ньютона имеем: .

В результате действия на систему материальных точек ( ) обобщенной силы , последние имеют виртуальные перемещения , , . При движении любой материальной системы виртуальная работа активных сил, реакций связей и сил инерции системы равна нулю:

, (3.4)

Запишем (3.4) для каждой материальной точки системы.

Для S₀ (платформы):

;

Для S₁ (маятник 1)_: ;

Исходя из цели управления данным объектом, которую можно сформулировать следующим образом: необходимо приложить такую силу к платформе, чтобы она переместилась на определенное расстояние за определенное время с минимальными углами отклонения маятников от вертикальной оси, можно записать:

.

С учетом линеаризации, запишем:

;

;

Запишем в развернутом виде:

Приведем данное выражение к системе дифференциальных уравнений:

для _:

для

для

Выразив старшие производные соответствующих переменных, получим:

(3.5)

Чтобы перейти к форме Коши, назначим переменные состояния:

(3.6)