КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Цель работы: научиться использовать численные методы для нахождения определенных интегралов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Каждый из интегралов, приведенных в варианте задания вычислить:

а) по формуле прямоугольников;

б) по формуле трапеций;

в) по формуле Симпсона,

разбив интервал интегрирования на n частей (n = 10) .

2. Сравнить между собой результаты вычислений и оценить погрешность вычисления, используя соответствующие приближенные оценки.

3. Вычислить приведенные в задании интегралы аналитически и найти в каждом случае абсолютную погрешность вычисления.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Для решения задачи численного или приближенного вычисления определенного интеграла используют формулу

(8.1)

где интегрируемая в функция.

Сначала отрезок [a; b] разбивается точками x₀ = a < x₁ < x₂ < … < x_n-1 < x_n = b на n равных частей или частичных отрезков [x_i; x_i+1]. Где x_i = x₀ + i×h, i = 0, 1, …, n–1, h = (b – a)/n – длина частичного интервала. Затем интеграл (8.1) записывают в следующем виде:

. (8.2)

Если на каждом из частичных интервалов [x_i; x­] подынтегральную функцию y = f(x) заменить в (8.2)

1) на постоянную величину f(x_i), где – произвольная точка из отрезка [x_i; x_i+1], то получим так называемую формулу прямоугольников

; (8.3)

2) отрезком прямой , проходящей через точки (x_i;f(x_i)), (x_i+1; f(x_i+1)), то получим формулу трапеций

; (8.4)

3) параболой y = ax² + bx + c, проходящей через три точки (x_i; f(x_i)), (x_i+1; f(x_i+1)), (x_i+2; f(x_i+2)), при этом n = 2k, т.е. число частичных интервалов четно, то получим формулу Симпсона

. (8.5)

Обозначим через абсолютную погрешность приближенного интеграла (8.1), тогда для формул (8.3) – (8.5) имеют место, соответственно, следующие оценки:

(8.5)

(8.6)

(8.7)

Выражение (8.5) относится к формуле средний прямоугольников, то есть где в формуле (8.3) .