Интегрирование рациональных выражений

Отношение двух алгебраических многочленов

, (1)

,

,

, называется рациональной функцией и еще рациональной дробью.

Будем считать, что рациональная дробь действительная, т. е. и - действительные многочлены. Кроме того, будем считать, что - действительная переменная.

Рациональные функции вида

(2)

где , , , - действительные числа, - натуральное число, а трехчлен не имеет действительных корней, будем называть простейшими дробями.

В § 5.2. мы показали, как вычисляются интегралы от простейших дробей (см. (4), (5), (6), (7), (11), § 5.2).

Пусть надо найти неопределенный интеграл от рациональной функции (см. (1)). Если , то простым делением выделяем из целую часть:

.

Интегрирование многочлена не представляет труда, и трудность свелась к интегрированию рациональной дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Будем поэтому считать, что наша рациональная дробь правильная, т. е. степень ее числителя меньше степени знаменателя .

Т е о р е м а 2. Пусть знаменатель правильной действительной рациональной дроби разложен по формуле (5’) § 5.5:

.

Тогда дробь (1) можно представить, и притом единственным образом, в виде следующей суммы простейших дробей:

(3)

где , , (с соответствующими индексами) – постоянные числа.

Эта теорема утверждает, что для любой правильной рациональной действительной дроби существуют постоянные числа , , с указанными индексами так, что имеет место тождество (3) для всех , исключая значения , для которых обе части (3) не определены. Эту теорему можно аккуратно доказать, но мы здесь ее доказывать не будем.

Поясним формулировку теоремы 1 на примере. Согласно теореме 1 имеет место равенство

, (4)

где , , , - вполне определенные постоянные числа. Чтобы найти их, приводим (4) к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой частей:

. (5)

Раскрывая скобки в правой части (5), группируем члены с одинаковыми степенями и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях обеих частей (см. § 4.14, теорема 2);

(6)

Мы получили четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными , , , . Эта система по теореме 1 имеет решение и притом единственное. Решая систему (6) получим , , , и потому

. (7)

В общем случае, если мы нашли коэффициенты в (3), для интегрирования дроби у нас все готово: неопределенный интеграл от левой части (3) равен сумме неопределенных интегралов от всех членов правой плюс некоторая постоянная . Выше уже было отмечено, что интегралы от любого из членов (3) мы умеем вычислять.

В случае примера (7)

.