Состоит в сравнении коэффициентов при одинаковых степенях переменной х.

Простейшие дроби приводят к общему знаменателю и числитель полученной новой дроби приравнивают к числителю подынтегральной функции. Получится система «n» уравнений с «n» неизвестными А, В, С…, которая имеет единственное решение.

Пример.

Подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей:

Решая эту систему, получим:

Возвращаемся к исходному интегралу:

§10.2 Метод частных значений.

Если знаменатель правильной рациональной дроби разлагается только на линейные множители вида , то можно применять метод частных значений для нахождения коэффициентов А, В, С…, придавая х значения

Пример.

Во многих примерах удобно применять комбинированный метод: вместе использовать метод частных значений и метод неопределенных коэффициентов.

Выводы: Если под знаком интеграла стоит рациональная дробь, то:

1. Если подынтегральное выражение - неправильная рациональная дробь, то ее надо представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

2. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей, для чего определить значения коэффициентов А, В, С…

3. Подынтегральное выражение представить в виде суммы легко интегрируемых функций.

§11. Интегрирование тригонометрических функций.

11.1. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Рассмотрим интегралы вида:

(R- рациональная функция)

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональной функции заменой переменной при помощи универсальной тригонометрической подстановки:

- универсальная тригонометрическая подстановка.

Основываясь на формулах тригонометрии, имеем:

Пример.

11.2. Интегралы вида:

Находят с использованием рекуррентных (возвращающихся) формул:

Пример.

11.3. Интегралы вида: , где

n и m- целые числа, причем одно из них нечетное.

Интегралы берутся с помощью формул:

1.

2.

3.

4.

Пример.

11.4. Интегралы вида: ,где

n и m – целые числа, но оба четные

Применяются формулы понижения степени:

; ;

Пример.

11.5. Интегралы вида: ,где

n и m – целые числа, но отрицательные.

Используется подстановка:

Выведем формулы для ; ;

1.

2.

3.

Пример.

.

Пусть:

При помощи этой же подстановки берутся интегралы вида .

11.6. Интегралы вида: ; ; .

При интегрировании функций такого вида используются следующие формулы:

1.

2.

3.

Пример.

11.7. Интегралы вида: ,где

n и m- целые числа

При решении используются формулы:

1.

2.

3.

4.

Пример.

11.8. Интегралы вида:

Используются формулы:

1.

2.

3.

4.

§12. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.