1.Для заданного варианта схемы подобрать номиналы элементов таким образом, чтобы постоянные времени передаточной функции были порядка 0,01…4,2 сек. По виду передаточной функции определить, последовательным соединением каких типовых элементарных звеньев можно моделировать заданный вариант схемы. Вывести дифференциальное уравнение схемы.
2.Построить переходной процесс схемы в программе моделирования систем автоматического регулирования TAU.
3.Смоделировать заданную схему в CircuitMaker. Построить переходной процесс. Сравнить результат с моделированием в TAU.
4.Результаты выполнения работы по пунктам 1-3 и выводы занести в отчет. Правила оформления отчета – см. Введение в курс.
Часть 2:
5.Осуществить анализ исходных данных и выдвинуть гипотезу, обосновывающую конкретный вид регрессионного уравнения модели по общему виду (11). Рассчитать коэффициенты регрессионного уравнения модели.
6.Рассчитать корреляцию между исходными и рассчитанными на модели значениями целевой функции; в случае неудовлетворительной точности (R2<K) скорректировать исходную гипотезу.
7.Обосновать число слагаемых итогового выражения модели по общему виду (11). По возможности минимизировать число слагаемых до выполнения условия R2»K.
8.Результаты выполнения работы по пунктам 5-7 и выводы занести в отчет. Правила оформления отчета – см. Введение в курс.
Практические рекомендации по выполнению работы и использованию программного обеспечения моделирования
Часть 1.
Рассмотрим пример выполнения работы для исходных данных, приведенных на рис. 42.
Передаточная функция заданной схемы может быть представлена в виде:
следовательно, в терминах моделей управления данная схема может быть представлена последовательным соединением типовых элементарных звеньев: колебательного устойчивого и дифференцирующего второго порядка. Зададим номиналы элементов R=2 Ом; L=0,1 H; C=0,025 F. Постоянные передаточной функции, таким образом, будут равны: Т=0,05; x=0,5. Построим переходной процесс звена с использованием программного обеспечения моделирования.
Программа моделирования TAU.
Запуск программы осуществляется файлом tau.exe. Выбор типовых элементарных звеньев моделируемой системы, источника входного сигнала и устройства вывода переходных процессов (экран) осуществляется в режиме графического редактора схем – пункт меню Редактировать/Создать. Для задания параметров элементов и звеньев используйте двойной щелчок. Двойной щелчок по устройству вывода – экрану – разворачивает его для просмотра результатов моделирования в отдельное окно.
Для соединения элементов схемы выделите элемент-источник щелчком мыши, затем – выход элемента-источника, элемент-приемник и вход элемента приемника. Для перемещения элемента его следует выделить однократным щелчком, а затем повторно нажать левую кнопку мыши, и, не отпуская ее, «перетащить» элемент.
Для задания интервала времени, на котором будет осуществляться моделирование переходного процесса, используйте пункт меню Конфигурация. Время моделирования следует выбирать в несколько раз большим, чем наибольшая постоянная времени схемы. Критерием корректности выбора времени моделирования служит вид графика переходного процесса – он должен полностью затухать (асимптотически приближаться к установившемуся значению). Шаг детализации следует оставлять по умолчанию.
Запуск моделирования осуществляется из меню Операции/Старт. После завершения режима расчета результаты моделирования можно просмотреть, развернув устройство вывода – экран – в отдельное окно.
Внимание! В звеньях второго порядка ограничение параметра x<1 является рекомендательным и может не выполнятся.
Для рассматриваемого примера модель заданной схемы, реализованная в виде последовательного соединения типовых звеньев, в программе TAU имеет вид, приведенный на рис. 43 (см. также файл Пример (ЛР№2).zvn), а задание параметров звеньев и результат моделирования – на рис. 44. Как видно, время переходного процесса до достижения значения, отличающегося от установившегося не более чем на 5% составляет 0,303 сек, а время полного затухания переходного процесса составляет от 0,6 до 0,7сек.
Circuit Maker PRO.
Основные сведения о работе – см. Лабораторную работу №1.
Схема для моделирования переходного процесса для заданных исходных данных в CircuitMaker показана на рис. 45 (см. также файл Пример (ЛР№2).ckt). В качестве источника входного напряжения выбираем генератор гармонического сигнала в базе данных элементов Analog/Instruments/Signal Gen и задаем прямоугольную форму сигнала, включив двойным щелчком по источнику режим редактирования и выбрав параметры Wave…/Pulse.
При задании временных параметров входного сигнала следует учитывать временные характеристики схемы, а также то, что условия моделирования в tau.exe и CircuitMaker должны быть абсолютно идентичны. Как следует из результатов моделирования для заданного варианта в программе tau.exe, для того, чтобы схема работала устойчиво (переходной процесс завершался полностью до очередного изменения входного сигнала), необходимо, чтобы длительность прямоугольного импульса была равны 1 сек. Зададим параметры генератора как показано на рис. 46, где Pulse Width – ширина (длительность) импульса в значении 1, в секундах – должна составлять 0,5 периода. Параметры Rise Time/Fall Time задают длительность переключения периодического сигнала из 0 в 1 и наоборот. Для моделирования сигнала прямоугольной формы их следует оставить по умолчанию в значениях 1 наносекунда.
Выбор режимов моделирования осуществляется в диалоговом меню Analyses Setup. Для включения режима анализа переходных характеристик следует выбрать режим Transient/Fourier (см. рис. 47).
Далее, нажатием кнопки Transient/Fourier задаем параметры моделирования как показано на рис. 48.
Параметры Start/Stop Time (см. рис. 48) задают начальное/конечное значение общего времени моделирования. В нашем случае 3-х секунд достаточно, т.к. длительность прямоугольно импульса для гарантии завершения переходного процесса полностью выбрана равной 1 секунде. Параметр Step Time задает шаг приращения времени – его оптимальное значение можно задать автоматически, нажатием кнопки Set Defaults.
Для запуска расчета характеристик воспользуемся кнопкой Run Analyses в меню Analyses Setup или кнопкой панели инструментов. Выбор на схеме точки снятия переходной характеристики осуществляется инструментом . Переходную характеристику следует снимать с выхода схемы. Результат анализа для заданного варианта имеет вид, показанный на рис. 49.
Как видно из результатов, представленных на рис. 49, полученный график по переднему фронту прямоугольного входного сигнала, который соответствует ступеньке, в точности совпадает с результатам моделирования переходных характеристик корректора в программе tau.exe. Таким образом, результаты моделирования схемы в Circuit Maker, имитирующие натурный эксперимент, идентичны результатам функционального моделирования с использованием модели корректора в виде передаточной функции. Для точной проверки соответствия результатов моделирования в Circuit Maker, например для определения длительности переходного процесса или времени достижения максимума, следует использовать измерительные курсоры (Measurement Cursors), режим использования которых включается в левой части рабочего окна в режиме вывода графиков (см. рис. 50). Как видно, координаты позиционирования измерительных курсоров позволяют точно определить время достижения переходной характеристикой максимума: ~0,247 секунд, и время завершения переходного процесса: ~0,690 секунд, что удобно для сопоставительного сравнения с результатами моделирования в tau.exe.
Для копирования и вставки в отчет схем и графиков, построенных в Circuit Maker, следует использовать меню Edit/Copy to Clipboard.
Наиболее часто возникающие ошибки моделирования и способы их исправления
Если текст сообщения в специальном окне Circuit Maker XSPISE For Windows выглядит, как показано на рис. 51, это значит, что получена сингулярная (некорректная) матрица коэффициентов системы уравнений схемы, получаемой по законам токов и напряжений Кирхгофа, и используемой для моделирования всех характеристик схемы. Чаще всего ошибка возникает в схемах, критичных к сопротивлению в цепи заземления.
Способ исправления: установить в параметрах моделирования Analyses Setup/Analog Options очень большое значение сопротивления в цепи заземления (самый последний пункт списка, в окне Analog Options выделен цветом). Значение вводится в окне ввода Option Value, после чего для подтверждения изменений нужно нажать кнопку Enter в правом верхнем углу окна Analog Options (см. рис. 52).
Если текст сообщения в специальном окне Circuit Maker XSPISE For Windows выглядит, как показано на рис. 53, это значит, что моделирование переходного процесса прервано, так как шаг приращения времени слишком мал.
Способ исправления: увеличить шаг приращения времени, изменив значения в полях Step Time/Max.Step в параметрах моделирования Analyses Setup/ TransientFourier.
Если текст сообщения в специальном окне tau.exe выглядит, как показано на рис. 54, это означает, что при редактировании схемы в таблице звеньев не осуществлен выбор звена – ни одна позиция не выделена.
Способ исправления: перезапустить программу и при выборе звеньев в режиме редактирования обязательно выделять выбираемую позицию в списке щелчком мыши как показано на рис. 55.
Часть 2 – MS Excel.
Основные начальные сведения по работе в MS Excel приведены в методических указаниях к Лабораторной работе №1.
Расчеты по работе осуществляются с использованием встроенных средств поиска решений MS Excel (меню СЕРВИС/ПОИСК РЕШЕНИЯ).
Пусть исходные данные к моделированию имеют вид, приведенный в таблице 19 (см. также файл Пример (ЛР№2).xls). Необходимо рассчитать регрессию у(х1,х2,х3), которая обеспечивала бы точность аппроксимации не менее 0,95.
Как следует из заданного вида регрессионной функции (11), кроме первых степеней всех 3-х факторов, целевая функция y также может зависеть от вторых степеней факторов и их попарного взаимного влияния. Дополним таблицу исходных данных соответствующими расчетами (см. файл Пример (ЛР№2).xls) и оценим корреляцию целевой функции y со всеми факторами (хi), вторыми степенями факторов (хj) и их попарными взаимными влияниями (хi×xj, i¹j).
Таблица 19
№ пп
Фактор
Целевая функция
x1
x2
x3
y
3,1
3,2
3,3
3,3
3,3
3,4
3,4
7,5
3,5
3,5
3,55
3,6
7,5
8,5
3,61
3,62
8,5
3,65
Для оценки воспользуемся функцией MS Excel. КОРРЕЛ. Эта функция имеет формат:
=КОРРЕЛ(массив1;массив2)
где массив1 и массив2 – интервалы значений параметров, для которых рассчитывается коэффициент корреляции. Интервалы значений в MS Excel задаются через двоеточие, т. е. если рассматривается столбец значений, начинающийся в ячейке А11 и заканчивающийся в ячейке А23, то ссылка на него в формуле будет иметь вид А11:А23. Результат корреляционного анализа по заданному примеру имеет вид, приведенный на рис. 56.
Как видно из полученных результатов, целевая функция y в значительной степени зависит от третьего фактора (R(x3, y)=0,97), второй степени третьего фактора (R(x32, y)=0,98) и, в меньшей степени, от взаимного влияния первого и третьего факторов (R(x1×x3, y)=0,47). Следовательно, с большой вероятностью можно предложить следующую гипотезу в отношении вида зависимости целевой функции от заданных факторов:
где b0, b3, b33 и b13 – коэффициенты регрессионного уравнения, которые требуется определить.
Дополним рабочий лист расчета таблицей значений коэффициентов регрессионной функции b0, b3, b33 и b13. Зададим начальные значения коэффициентов произвольно (например, все равные 1). Добавим к таблице исходных значений столбец расчетных значений y и столбец значений квадрата отклонения реальных значений целевой функции от расчетных (y-yрасч)2. Рассчитаем значение дисперсии адекватности – для произвольных начальных значений коэффициентов эта величина, как и квадраты отклонений, будут иметь, очевидно, неудовлетворительно большие значения.
Осуществим с использованием встроенных средств поиска решений MS Excel (меню СЕРВИС/ПОИСК РЕШЕНИЯ) подбор значений коэффициентов регрессионной функции b0, b3, b33 и b13, обеспечивающих минимум дисперсии адекватности, и, соответственно, максимум точности регрессионной функции. Для этого зададим параметры поиска решения как показано на рис. 57. Целевой ячейкой является ячейка с результатом расчета дисперсии, значение которой подлежит минимизации. Изменяемыми ячейками являются ячейки с начальными значениями коэффициентов. Для осуществления поиска решения необходимо, чтобы формула в целевой ячейке была связана с изменяемыми ячейками. Результат расчета для заданного примера имеет вид, показанный на рис. 58 (см. файл Пример (ЛР№2).xls).
Из результатов, представленных на рис. 58, видно, что итоговые значения коэффициентов регрессионной функции обеспечивают удовлетворительное совпадение расчетных и реальных значений целевой функции и незначительную дисперсию. Однако, для количественной оценки точности полученной регрессионной функции необходимо определить точность аппроксимации.
Построим корреляцию расчетных значений целевой функции с фактическими; задав в параметрах линии тренда вывод коэффициента точности аппроксимации. Для этого следует построить точечную диаграмму зависимости расчетных значений y от фактических (заданных) значений и, выделив ряд данных в поле графика, нажать правую кнопку мыши. В появившемся меню нужно выбрать пункт Добавить линию тренда… и задать параметры следующим образом: в закладке Тип выбрать линейную аппроксимацию; в закладке Параметры – выбрать пункт Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации. Результат построения корреляционного графика показан на рис. 59. Как видно, коэффициент точности аппроксимации соответствует заданному ограничению (K=R2>0,95).
Для оптимизации полученной регрессионной функции следует последовательно по очереди исключать из полученного выражения слагаемые, начиная со слагаемых с наименьшими по абсолютному значению коэффициентами и повторять расчет для каждого нового варианта. Если после исключения слагаемых точность аппроксимации по-прежнему удовлетворяет заданному ограничению, то новый вариант регрессионной функции принимается.
Варианты индивидуальных заданий
В таблице 20 приведены индивидуальные варианты по Части 1 лабораторной работы. Варианты по Части 2 – см. файл Варианты индивидульных заданий (часть 2).xls.
Цель: Экспериментальное определение числа прогонов вероятностной модели, обеспечивающее заданную точность статистического моделирования по математическому ожиданию, с использованием метода Монте-Карло. Детерминированный анализ и имитационное статистическое моделирование одноканальной СМО безприоритетного обслуживания.
Программное обеспечение моделирования: MS Excel, GPSS World.
Теория
Основные сведения о методе Монте-Карло – см. раздел 2.4. конспекта лекций. Основные сведения об имитационных моделях СМО – см. раздел 3.4. конспекта лекций.
Моделирование неравномерных распределений. Для генерирования случайных чисел xГ, соответствующих гамма-распределению, используют формулу розыгрыша:
где l - интенсивность гамма-распределения; b – целочисленный параметр гамма-распределения.
При моделировании нормально распределенной случайной величины используют центральную предельную теорему [27], согласно которой распределение суммы n одинаково распределенных независимых случайных величин x1, x2…xn при неограниченном возрастании n неограниченно стремится к нормальному распределению. При n≥8 распределение этой суммы может считаться нормальным с вероятностью Р>0,95. Используя реализации случайной равномерно распределенной величины xR, можно составить выражение для определения случайной величины xNo, имеющей нормальное распределение с параметрами mx=0 и sx=1:
(12)
На основании формулы (12) из 12-ти случайных равномерно распределенных чисел xiR получается одно случайное число xNo, принадлежащее новой совокупности, которая представляет собой случайные числа с нормальным распределением.
Для получения xNo также можно использовать формулу:
Случайные нормально распределенные числа с заданными параметрами mx и sx получают из xNo по формуле:
панели инструментов. Выбор на схеме точки снятия переходной характеристики осуществляется инструментом 
. Переходную характеристику следует снимать с выхода схемы. Результат анализа для заданного варианта имеет вид, показанный на рис. 49.
; K=R1C1 ; T1= R1C1 ; T2=T1(1+R2/R1)
T1= R1C1 ; T2=R2C2
T1=R1C1; T2=R2C2
T1=R1C1; T2=L1/R1
T1= R1C1; T2= R2C2; a= R1C2
