Аналитические теоретические модели СМО представляют собой совокупность явных зависимостей параметров, образующих вектор фазовых переменных СМО V, от векторов внутренних Q и внешних X параметров:
Вектор Q составляют параметры ОА, вектор X – параметры входных потоков заявок. Аналитические модели СМО можно получить только в частных случаях со следующими ограничениями:
1. Входные потоки заявок должны обладать свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия – такие потоки называются простейшими. В подавляющем большинстве работ по теории МО рассматривается простейший поток, для которого вероятность поступления в промежуток времени t ровно k заявок задается формулой:
(9)
где l – интенсивность поступления заявок (параметр экспоненциального распределения), положительная постоянная величина, обратная МО времени поступления. На оси времени поток поступления заявок можно изобразить, как показано на рис. 25.
Свойство стационарности заключается в том, что вероятность поступления определенного числа заявок в интервале времени Dt зависит только от длительности этого интервала и не зависит от положения этого интервала на оси времени (см. рис. 26). Иначе говоря, вероятностные характеристики и интенсивность такого потока со временем не изменяются.
Ординарность означает невозможность одновременного поступления двух и более заявок на вход системы. Отсутствие последействия выражается в том, что вероятности разных непересекающихся интервалов не зависят друг от друга. Иногда это свойство формулируют следующим образом: распределение времени до ближайшего события не зависит от времени наблюдения, т. е. от того, сколько времени прошло после последнего события. Отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга.
2. Интервалы времени между поступлениями заявок и времена обслуживания заявок в ОА СМО распределены по экспоненциальному закону, т. е. функция распределения вероятностей и функция плотности вероятностей для этих интервалов времени имеют вид:
3. Приоритетность обслуживания не рассматривается, используются дисциплины обслуживания типа FIFO.
Как уже отмечалось, вероятность поступления в промежуток времени t ровно k заявок для простейшего потока определяется формулой (9). Вероятность того, что в течение интервала времени t не поступит ни одной заявки (эквивалентно вероятности того, что следующая после последней заявки поступит в СМО по истечении времени t) составляет:
Вероятность, что за то же время поступит хотя бы одна заявка:
При построении и анализе непрерывно – стохастических моделей исследуются вероятности появления или не появления событий в течении элементарного интервала времени Δt→0. Произведя замену t на Δt, и, разлагая e-λΔt в степенной ряд, получим, пренебрегая величинами высшего порядка малости:
Тогда, вероятность появления хотя бы одной заявки:
Учитывая ординарность простейшего потока, можно утверждать, что последнее выражение представляет собой вероятность появления ровно одной заявки.
Простейший поток обладает устойчивостью, состоящей в том, что при суммировании независимых простейших потоков получается снова простейший поток, причем интенсивности складываемых потоков суммируются. Кроме этого для простейшего потока характерно, что поступление заявок через короткие промежутки времени более вероятно, чем через длинные – 63% промежутков времени между заявками имеют длину, меньшую математического ожидания времени поступления (1/λ). Следовательно, моделирование процесса поступления или обслуживания заявок с использованием экспоненциального распределения является предположением о том, что значительная доля заявок поступает или обслуживается в системе в течение кратковременного интервала, меньшего МО. Однако в реальной системе реальные характеристики обслуживания могут не совпадать с характеристиками простейшего потока – так, например, часто выполнение некоторой определенной операции в ВС не может занимать время менее некоторого интервала.
С учетом рассмотренных ограничений множество практических задач анализа ВС не удается решать в полном объеме с использованием аналитических моделей СМО. Их применяют для ориентировочных оценок свойств проектируемых систем на начальных стадиях проектирования и в качестве макромоделей отдельных фрагментов ВС при их имитационном моделировании [4, 5, 24-26]. Рассмотрим постановку, ограничения и подходы к решению типовых задач аналитического моделирования СМО.
