В классической постановке задача формулируется следующим образом: в СМО типа М/М/m на m одинаковых ОА поступает простейший поток заявок c интенсивностью l. Если в момент поступления заявки имеется хотя бы один свободный ОА, она немедленно начинает обслуживаться, если нет – становится в очередь. Длительность обслуживания также распределена по экспоненциальному закону, т. е. представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x)=1-e-mt, где m – интенсивность обслуживания (величина, обратная МО времени обслуживания).
Выбор экспоненциального распределения в аналитическом моделировании СМО для описания длительности процесса не случаен. В этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной точностью описывает ход рассматриваемого процесса. Данное распределение играет в теории массового обслуживания важную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством: при показательном распределении длительности обслуживания распределение длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.
Действительно, пусть Pa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжатся время а, продлится еще не менее чем t.
ПРИМЕР – исследование свойств экспоненциального распределения.
В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, вероятность того, что обслуживание продлиться от нулевого момента времени до момента времени t составляет P0(t)=e-mt. Далее ясно, что P0(a)=e-maи P0(a+t)=e-m(a+t). А так как всегда P0(a+t)=P0(a)Pa(t), то e-m(a+t) e-maPa(t) и, следовательно, Pa(t)=e-mt=P0(t).
Как уже отмечалось, в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, приближением, так как предположение, что F(x)=1-e-mt приводит к тому, что значительная доля заявок нуждается лишь в кратковременной операции, близкой к 0. Необходимость снятия этого ограничения решается распределением Эрланга (гамма-распределение с целочисленным параметром), плотность распределения которого задается формулой:
где m>0, а b – целое положительное число. Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы b независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение F(x)=1-e-mt.
В каждый момент многоканальная система обслуживания с ожиданием М/М/m может находится в одном из следующих состояний: в момент времени t в системе находится k заявок. Если k£m, то в системе находятся и обслуживаются k заявок, а m-k ОА свободны. Если k>m, то m заявок обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Если Еk – состояние, когда в системе находятся k заявок, система может находиться в состояниях E0, E1, E2… и т. д. Пусть в некоторый момент времени t0 система находилась в состоянии Ei. Дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами:
- моментами завершения обслуживаний, производящихся в момент времени t0, т. е. начатых ранее t0;
- моментами поступления новых заявок;
- длительностью обслуживания заявок, поступивших после t0.
В силу рассмотренных особенностей показательного распределения длительность остающейся части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента времени t0. Поток заявок является простейшим, и длительность обслуживания заявок, поступивших после t0, никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента t0. Таким образом, последующее течение процесса обслуживания не зависит в вероятностном смысле от того, что происходило до момента времени t0. Система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет случайный процесс Маркова или процесс без последействия – случайный процесс, для которого будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом. Аналитическое моделирование СМО применимо только к Марковским процесса и системам.
В задаче обслуживания с ожиданием очереди многоканальной СМО представляются неограниченными, и рассматривается обслуживание без потерь. В реальных ВС потери могут иметь место. Аналитическими методами теории массового обслуживания решаются задачи моделирования СМО с потерями, которые могут иметь место по причине:
