Общие понятия. Классификация моделей

Моделью реального объекта называют его представление в некоторой форме, отличной от реального воплощения. Для естественных материальных объектов модель вторична, т. е. появляется как следствие изучения и описания этого объекта (например, модель солнечной системы).
Для объектов, создаваемых человеком или техникой модель первична, так как предшествует появлению самого объекта (например, модель самолета, модель триггера).

Степень соответствия модели реальному объекту определяется разработчиком. Для одного объекта можно разработать целый ряд моделей, отражающих его поведение или свойства с разных сторон или с разной степенью детальности. В идеале модель должна позволять предсказывать неизвестные состояния моделируемого объекта – возможность интерполяции и прогнозирования важные качества модели.

ПРИМЕР неоднозначности интерпретации результатов натурного эксперимента с точки зрения интерполяции и прогнозирования.

Моделирование есть процесс создания модели реального объекта и постановка экспериментов на этой модели для исследования и оптимизации характеристик объекта в соответствии с заданными ограничениями.

Процесс моделирования есть процесс перехода из реальной области в виртуальную (модельную) посредством формализации, далее происходит собственно моделирование и, наконец, интерпретация результатов как обратный переход из виртуальной области в реальную. Этот путь заменяет прямое натурное исследование реального объекта. Итак, в самом простом случае технология моделирования включает 3 этапа: формализацию, собственно моделирование и интерпретацию результатов. Если требуется уточнение, эти этапы повторяются в цикле.

ПРИМЕР – схема процесса моделирования с детализацией этапов.

Объектами технического моделирования являются технические процессы и системы. Для инженеров специальностей 1-40 01 01 «Программное обеспечение информационных технологий» и 1-40 02 01 «Вычислительные машины, системы и сети» объект моделирования это чаще всего информационная система или вычислительная сеть, представляемая как множество взаимосвязанных реальных элементов, объединенных общей целью функционирования.

Целями моделирования технических процессов и систем являются:

1) получение средств решения задач синтеза и анализа при проектировании объекта моделирования;

2) исследование и анализ поведения реально существующего объекта в режимах и условиях, реализовать которые в натурном эксперименте невозможно либо нецелесообразно;

3) получение средств решения задач управления реальным объектом.

Рассмотрим классификацию моделей, в основу которой положено различие моделей по критериям подобия модели и объекта, а также соотношение точности и абстрактности моделей (см. рис. 1).

Модели, находящиеся в начале спектра (см. рис. 1) называют физическими или натурными. Критерием подобия физического моделирования является общая природа взаимодействий в модели и в реальном объекте. При создании масштабированных моделей критерием подобия является математический критерий, представляющий собой безразмерную величину – соотношение определенных параметров процесса или системы. Сочетание в реальных объектах моделирования различных по своей природе процессов (например, физических и химических) затрудняет выбор общего критерия подобия и в пределе делает масштабирование невозможным. Аналоговыми являются модели, в которых свойство реального объекта представляется некоторым другим свойством аналогичного по поведению объекта. Критерием подобия является аналогия поведения или свойств. Примером аналоговой модели является любой график: величины длин отрезков, отложенных по координатным осям, отображают взаимосвязанное изменение определенных характеристик объекта. Аналоговыми моделями также являются различного рода схемы. Критерием подобия в математических моделях является подобность математических уравнений.

ПРИМЕР систем различной природы, подобных с математической точки зрения.

В общем случае, уравнения математической модели связывают величины, которые характеризуют состояние системы или объекта, с входными и внутренними переменными. Величины, характеризующие состояние объекта моделирования в процессе его функционирования, называются фазовыми переменными (фазовыми координатами). Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. Фазовое пространство, в отличие от геометрического, многомерно. Его размерность определяется количеством используемых фазовых координат.

ПРИМЕР представления векторов фазовых координат в фазовых пространствах различной размерности.

Обычно в уравнениях модели фигурируют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточная для однозначной идентификации состояния объекта моделирования. Такие фазовые переменные называют базисными координатами: . Через базисные координаты могут быть вычислены значения всех остальных фазовых переменных.

Математические модели делятся на аналитические и имитационные. В свою очередь, аналитические модели делятся на теоретические и экспериментальные (см. рис. 2).

Имитационные модели – это модели типа «черного ящика», которые рассматривают поведение объекта моделирования только с точки зрения входных воздействий и выходных параметров (вектора базисных координат). Они представляет собой алгоритм, которым описывается поведение объекта моделирования или способ вычисления вектора его базисных координат при заданных входных воздействиях. Имитационные модели не способны формировать решение в том виде, который имеет место в аналитических моделях, а служат средством анализа поведения системы в условиях, определяемых экспериментатором.

Применение имитационного моделирования целесообразно в следующих условиях:

1) аналитической модели исследуемой системы не существует, не разработаны методы ее решения либо существующие методы не алгоритмизируются и не формализуются;

2) аналитическая модель сложна и трудоемка, и имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи;

3) кроме оценки определенных параметров необходимо осуществить наблюдение за ходом процессов в системе в течение определенного интервала времени – требуется сжатие временной шкалы.

Теоретические модели получают на основе известных теоретических описаний процессов функционирования объекта. Экспериментальные – на основе изучения поведения объекта моделирования во внешней среде. Экспериментальные модели являются формальными. Они не учитывают всего комплекса свойств моделируемого объекта, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами объекта моделирования, которые удается варьировать и/или осуществлять их измерение. Варьируемые параметры называют факторами. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов только в ограниченной области факторного пространства, в которой осуществлялось варьирование факторов в эксперименте, т. е., как правило, не обладают свойством экстраполяции. Поэтому экспериментальные математические модели носят частный характер, в то время как теоретические отражают общие универсальные закономерности. Вместе с тем, применяемые для построения экспериментальных моделей методы (регрессионный и корреляционный анализ, планирования эксперимента) широко используются при проверке гипотез.

При моделировании любого объекта могут быть использованы разные модели или их совокупности из числа разновидностей, рассмотренных выше. Представления объекта моделью в рамках одной разновидности могут различаться по сложности и детализации.

ПРИМЕРЫ различных моделей логического элемента И-НЕ.

Еще одним важным классификационным признаком моделей является учет свойств реальных взаимодействий в объекте. По этому признаку модели делятся на детерминированные и вероятностные.

При разработке детерминированных моделей полагается, что свойства входных воздействий и объекта моделирования неизменны во времени, т. е. предполагается, что соответствия между внешним воздействием на объект и его реакцией на это воздействие взаимно однозначны. Детерминированные модели отражают поведение объекта моделирования с позиций полной определенности в настоящем и будущем, они просты и экономичны, но, как правило, недостаточно точны. Эти модели применяются на начальных стадиях проектирования и анализа систем, для приближенной проверки гипотез и предварительных оценок.

Простота детерминированных моделей достигается за счет того, что в них игнорируются или моделируются весьма примитивно многие свойства, присущие реальным объектам (например, задержка и нагрузочная способность логических элементов). В них не учитываются и случайные факторы, такие как технологический разброс параметров, температурные и временные изменения, а также случайные характеристики процессов, таких как поступление заявок на обслуживание или изменение количества пользователей сети.

Вероятностные модели учитывают случайные факторы и, следовательно, оценивает изменение состояния объекта моделирования с позиций вероятности тех или иных событий. Случайные значения параметров модели обычно задаются с помощью генераторов псевдослучайных чисел по заданному закону распределения. Один «прогон» модели дает одну реализацию случайного процесса. Поэтому для получения достоверных оценок требуется представительная выборка, т. е. большое число экспериментов на модели. Процесс моделирования с использованием вероятностных моделей называется статистическим моделированием и является разновидностью имитационного моделирования. Достоинство вероятностных моделей – высокая точность и надежность получаемых результатов. Недостаток – значительные затраты машинного времени на проведение статистического моделирования.

Детерминированное моделирование широко используется на начальных стадиях исследования, проектирования или решения задач управления техническими системами. Заключительные стадии выполняют на вероят­ностных моделях, когда уже приняты решения относительно структуры объекта и определены ориентировочно (на детерминированных моделях) значения его параметров.

Модель должна удовлетворять требованию точности. Для оценки точности используются различные статистические критерии, например, среднеквадратическое отклонение результатов расчетов на модели от реальных значений вектора базисных координат, полученных в результате эксперимента:

Если результат проверки не удовлетворяет требованию J£J_{допустимое}, то модель чрезмерно упрощена или исходная гипотеза неверна, и следует выбрать другую модель [1-4].

1.2. Режимы функционирования и задачи анализа технических
объектов моделирования

В зависимости от характера внешних воздействий технический объект (ТО) моделирования может находить­ся в установившемся или неустановившемся состоянии. Измене­ние его состояния выявляется анализом поведения фазовых переменных.

Установившееся состояние технического объекта достига­ется при неизменных характеристиках внешних воздействий. Режим функционирования ТО в установившемся состоянии называют стати­ческим или равновесным. Статичность состояния определяется неизменностью базисных координат всех элементов техни­ческой системы при постоянных внешних воздействиях. Если внешние воздействия изменяются, то состояние ТО будет неустановившимся. Режим работы ТО при этом называют динамическим. Он сопровождается непрерывным изменением фазовых координат.

Если при моделировании учитываются инерционные свойства объекта моделирования и изменение во времени параметров объекта или внешней среды, то модель называют динамической. В противном случае модель статическая.

Математическое представление динамической модели в об­щем случае может быть выражено системой дифференциальных уравнений, а статической – системой алгебраических уравне­ний. Динамическая модель может также представлять собой интегральные уравнения, передаточные функции, а в аналити­ческой форме – явные зависимости фазовых координат или выходных параметров технического объекта от времени.

В модельном эксперименте детерминированного анализа поведения ТО обычно задают некоторые стандартные типовые воздействия на объект: ступенчатые, импульсные, гармонические, кусочно-линейные, экспоненциальные и др. Их называют тестовыми воздействиями. Предположим, что на технический объект, находящийся в установившемся состоянии, в некоторый момент времени t₀ действует ступенчатое воздействие вида:

где x₀ = const – модуль ступенчатого воздействия. Изменение состояния ТО будет определяться его внутренними свойствами и внешним воздействием. Пусть состояние ТО характеризуется фазовой координатой v(t). Изменение ее после приложения ступенчатого воздействия можно представить в виде суммы двух составляющих: переход­ной v_п(t) и вынужденной v_в(t). Переходная составляющая устойчивого ТО с течением времени затухает (стремится к нулю) и ТО приходит в новое установившееся состояние равновесия, характеризуемое новым постоянным значением вынужденной состав­ляющей v_в(t)=v_к=const.

ПРИМЕРЫ характеристик технического объекта при подаче на вход ступенчатого тестового воздействия.

Следовательно, при приложении ступенчатого воздействия ТО осуществляет переход из одного установившегося состояния в другое, находясь при этом в течение некоторого времени в динамическом режиме (см. рис. 3-а). Такой динамический режим называют переходным процессом, а графики изменения фазовых координат ТО – переходными характеристиками.

Если внешние воздействия на ТО переменны во време­ни, то они вызывают в нем непрерывный ряд переходных процессов и состояние системы в течение всего времени наблюде­ния будет неустановившимся. Переходные процессы возникают также при изменении структуры или параметров ТО в процессе ее функционирования.

Если внешнее воздействие x(t) – периодическая функция, для которой x₀=A×sin(w_вt+j), то после затухания свободных колебаний (переходной составляющей) в устойчивом ТО установятся вынужденные колебания с частотой w_в и некоторыми постоянными амплитудами А_вi=k_iA, где k_i – постоянный коэффициент, i – номер фазовой координаты системы. Такое состояние ТО также относится к установившемуся, а режим называют стационарным режимом колебаний (см. рис. 3-б).

ПРИМЕР характеристик технического объекта при подаче на вход гармонического тестового воздействия.

Рассмотренные тестовые входные воздействия – идеальная ступенька и гармонический сигнал с постоянными параметрами – являются модельными и при эксплуатации реальных ТО в чистом виде практически не встречаются. Однако модельные исследование поведения ТО при подаче на вход этих воздействий позволяют значительно облегчить и ускорить решение проектных задач, так как детерминированные модели гораздо проще вероятностных. Получаемая при этом информация об объекте хотя и не претендует на полноту, но оказывается практически полезной.

Реальные внешние воздействия среды на технический объект описываются случайными функциями, а изменения фазовых координат системы представляют собой случайные процессы. Техническая система в этом случае все время находится в динамическом режиме.

Рассмотрим основные задачи анализа, решаемые при про­ектировании технических систем. В зависимости от модельного режима, положенного в основу решения конкретной проектной задачи, различают следующие виды анализа:

- статических состояний;

- переходных процессов;

- устойчивости;

- стационарных режимов колебаний;

- частотных характеристик;

- чувствительности;

- статистический.

Анализ статических состояний относится к задачам стати­ки, а остальные виды анализа – к задачам динамики. Исходная математическая модель объекта представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, которая в нормальной форме Коши имеет вид:

где V – вектор базисных координат; t – независимая перемен­ная (время).

Система уравнений описывает динамические режимы функционирования технического объекта. Анализ этих режимов заключается в решении системы уравнений и последующем определении выходных параметров объекта. Задавая начальные условия V(0)=V₀, находят решения V(t), а затем вычисляют значения выходных параметров Y (целевых функций). Большинство выходных параметров имеют смысл функционалов зависимостей базисных координат. Функционал представляет собой отображение класса функ­ций в класс чисел. Примеры функционалов: определенные интегралы, экстремумы функций, значения функций при заданных значениях аргументов и т. п. Например, коэффициент использования (утилизации) сервера является выходным параметром, значение которого в первую очередь определяется интенсивностью поступления запросов (входная переменная) и интенсивностью их обработки (базисная переменная), а также рядом других факторов – дисциплинами обслуживания, приоритетами запросов и т. д.

Математическая модель рассмотренного вида непосредственно ис­пользуется при анализе переходных процессов, устойчивости, стационарных режимов колебаний. Эта же модель позволяет решать и задачи анализа статических состояний: при dV/dt=0 система дифференциальных уравнений переходит в систему алгебраических уравнений F(V)=0.

Частотный анализ проводится для определения резонанс­ных режимов, для исследования передачи или преобразования информационных сигналов, представленных в частотной области. Если математическая модель линейна, используют преобразова­ние Фурье и система дифференциальных уравнений преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений с комплексными перемен­ными, которая затем используется для определения частотных характеристик объекта. Процедура преобразования дифференци­альных уравнений в алгебраические называется алгебраизацией исходной дифференциальной задачи, но полученная при этом модель, тем не менее, описывает динамические свойства объекта. Частотными методами можно также решать задачи анализа устойчивости и стационарных режимов колебаний.

Анализ чувствительности выполняется для оценки влияния вариации параметров объекта на изменение выходных функции. Выходные параметры объекта Y непосредственно не фигу­рируют в исходной системе ДУ. Они определяются по результатам решения V(t) системы уравнений.

Сложный технический объект обычно имеет множество внутрен­них параметров. Решение задачи оптимизации в этом случае вызывает значительные трудности. Вместе с тем не все парамет­ры эффективно изменяют целевую функцию. Поэтому целесооб­разно их классифицировать и отобрать для оптимизации лишь те параметры, которые оказывают наибольшее влияние на целевую функцию. Эта задача решается методами факторного анализа.

Статистические методы анализа требуют использования вероятностных моделей. Большинство показателей качества, характеризующие процесс функционирования информационных систем и вычислительных сетей, являются вероятностными (например, вероятность надежного представления информации при выполнении функциональной задачи, вероятность предотвращения несанкционированного доступа и т. п.) [1, 5-7].