Решение

Начальную ситуацию игры можно представить следующим образом: точка имеет координаты (5,2). По очереди каждым игроком откладывается один из векторов (3,0), (0,3), (0,4). Чей вектор пересечет окружность центром (0,0) и радиусом 13, тот и выиграл.

Построим дерево игры, ходы первого игрока (нечетные) выполняем одним цветом, ходы второго (четные, на каждый ход первого) – другим.

Анализируя дерево игры видим, что вектор, нарисованный первым игроком, пересечет окружность в двух случаях: либо перемещаясь только горизонтально, либо только вертикально.

Но этому может помешать второй игрок, выполнив второй ход в перпендикулярном направлении и выигрывая четвертым ходом.

При правильной игре выигрывает второй игрок, его ход должен быть перпендикулярен ходу первого игрока.

Можно построить полное дерево игры и сделать те же выводы: Первый игрок делает четные ходы, второй – ходы с нечетными номерами. Игра заканчивается либо на 3, либо на 4 ходу. Для выигрыша 1 игрока (окончание игры на 3 ходу), требуется, чтобы вторым ходом 2 игрок повторил ход 1 игрока. Если он этого не сделает, то выиграет.

Стратегия второго игрока: для выигрыша не повторять первый ход первого игрока.

1ход 2ход 3ход 4ход

(5,2)-(8,2)-(11,2)-(13,2)

| | +(11,5)--+------+-----+

| | | (14,5) (11,8) (11,9)

| | +(11,6)--+------+-----+

| | (14,6) (11,9) (11,10)

| +(8,5)-+(12,5)--+------+-----+

| | | (15,5) (12,8) (12,9)

| | +(8,8)---+------+-----+

| | | (11,8) (8,11) (8,12)

| | +(8,9)---+------+-----+

| | (11,9) (8,12) (8,13)

| +(8,6)-+(11,6)--+------+-----+

| | (14,6) (11,9) (11,10)

| +(8,9)---+------+-----+

| | (11,9) (8,12) (8,13)

| +(8,10)---+------+-----+

| (11,10) (8,13) (8,14)

+(5,5)-(8,5)-+(11,5)---+------+-----+

| | | (14,5) (11,8) (11,9)

| | +(8,8)---+------+-----+

| | | (11,8) (8,11) (8,12)

| | +(8,9)---+------+-----+

| | (11,9) (8,12) (8,13)

| +(5,8)-+(8,8)---+------+-----+

| | | (11,8) (8,11) (8,12)

| | +(5,11)---+------+-----+

| | | (8,11) (5,14) (5,15)

| | +(5,12)---+------+-----+

| | (8,12) (5,15) (5,16)

| +(5,9)-+(8,9)----+------+-----+

| | (11,9) (8,12) (8,13)

| +(5,12)---+------+-----+

| | (8,12) (5,15) (5,16)

| +(5,13)---+------+-----+

| (8,13) (5,16) (5,17)

+(5,6)-(8,6)-+(11,6)---+------+-----+

| | (14,6) (11,9) (11,10)

| +(8,9)----+------+-----+

| | (11,9) (8,12) (8,13)

| +(8,10)

| (11,10) (8,13) (8,14)

+(5,9)-+(8,9) ---+------+-----+

| | (11,9) (8,12) (8,13)

| +(5,12)

| | (8,12) (5,15) (5,16)

| +(5,13)

+(5,10)+(8,10) ---+------+-----+

| (11,10) (8,13) (8,14)

+(5,13)

+(5,14)

Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат три кучки камней, в первой из которых 2, во второй – 3, в третьей – 4 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или удваивает число камней в какой-то куче или добавляет по два камня в каждую из куч. Выигрывает игрок, после хода которого либо в одной из куч становится не менее 15 камней, либо общее число камней во всех трех кучах становится не менее 25. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.