Формула Стокса.

Связь между поверхностными и криволинейными интегралами II рода выражает следующая теорема.

Теорема.Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности , то имеет место формула

, (25)

где – граница поверхности и интегрирование вдоль кривой производится в положительном направлении (при обходе границы поверхность должна оставаться всегда слева). Примем без доказательства.

Формула (25) называется формулой Стокса.

Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия

, , ,

то криволинейный интеграл по произвольному замкнутому пространственному контуру равен нулю:

.

Формулу Стокса можно применять для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла.

Пример 7. Вычислить , где контур – окружность ; : а) непосредственно; б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу .

Решение.Поверхность интегрирования изображена на рис.12.

а)Запишем уравнение окружности в параметрической форме:

, , , .

Воспользуемся формулой

.

Тогда,

.

б) По формуле Стокса (25) находим: . Перейдем к полярным координата, тогда:

.

Ответ: .

Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода.

С помощью поверхностного интеграла II рода можно найти объем тела, ограниченного снизу поверхностью , уравнение которой ; сверху – поверхностью , уравнение которой ; сбоку – цилиндрической поверхностью , образующие которой параллельны оси :

, (26)

где .

Другие применения поверхностного интеграла II рода Вы рассмотрите с Николаем Петровичем в разделе"Элементы теории поля". Удачи!