Формула Остроградского-Гаусса.

Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью, выражает следующая теорема.

Теорема.Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области , то имеет место формула

, (21)

где – граница области и интегрирование по производится по ее внешней стороне.

Формула (21) является аналогом формулы Остроградского-Грина и называется формулой Остроградского-Гаусса.

Доказательство. Пусть область ограничена снизу поверхностью , уравнение которой ; сверху – поверхностью , уравнение которой ; сбоку – цилиндрической поверхностью , образующие которой параллельны оси (см. рис. 10). Функции , непрерывны в замкнутой области – проекции области на

плоскость , .

Рассмотрим тройной интеграл

.

Двойные интегралы в правой части полученного равенства, используя формулу (14), заменим поверхностными интегралами II рода по внешней стороне поверхностей и соответственно.

Тогда,

.

По свойству 5 , интеграл по внешней стороне равен нулю. Добавим его к правой части последнего равенства, получим:

,

или

, (22)

где – поверхность, ограничивающая область .

Аналогично доказываются формулы

, (23)

. (24)

Складывая почленно равенства (22), (23) и (24), получим формулу (21)Остроградского-Гаусса.

Замечания.

1. Формула (21) справедлива для любой области , которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида.

2. Формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов II рода по замкнутым поверхностям.

 

Пример 6.Вычислить , где – внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями , , , .

Решение.По формуле (21) получим:

.

При вычислении тройного интеграла использовался его геометрический смысл и формула вычисления объема пирамиды (рис. 11): .

Ответ: .

 

Используя формулу (21), можно решить пример 5 следующим образом.

 

, где поверхности , , есть соответственно треугольники , , (см. рис. 11). Имеем: .