Свойства поверхностного интеграла II рода, вытекающие из определения.

1. Поверхностный интеграл II рода меняет знак при перемене стороны поверхности.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.

3. Поверхностный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме соответствующих интегралов от слагаемых.

4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям и (аддитивное свойство), если и пересекаются только по границе, их разделяющей.

5. Если , и – цилиндрические поверхности с образующими параллельными соответственно осям , , , то

2. Вычислениеповерхностного интеграла II рода

Пусть функция непрерывна во всех точках поверхности , заданной уравнение , где – непрерывная функция в замкнутой области (или ) – проекции поверхности на плоскость .

Выберем ту сторону поверхности , где нормаль к ней образует с осью острый угол, тогда ( ).

Так как , то интегральная сумма (12) может быть записана в виде:

. (13)

Правая часть равенства (13) является интегральной суммой для функции , непрерывной в области . Переходя к пределу при , получаем:

, (14)

выражающую поверхностный интеграл II рода по переменным и через двойной интеграл. Если выбрать нижнюю сторону поверхности , то полученный интеграл берут со знаком "минус", то есть:

. (15)

Аналогично, , (16)

, (17)

где и – проекции поверхности на плоскости и соответственно (замкнутые области).

В формуле (16) поверхность задана уравнением , в формуле (17) – уравнением . Знак перед интегралами выбирается в зависимости от ориентации поверхности ( например, в формуле (16) знак "плюс" выбирается, если нормаль к поверхности образует с осью острый угол).

Для вычисления общего поверхностного интеграла II рода используют формулы (15) - (17), проектируя поверхность на все координатные плоскости:

. (18)

Можно показать, что справедливы равенства:

, (19)

где – элемент площади поверхности ; , , – направляющие косинусы нормали к выбранной стороне поверхности .

Поверхностные интегралы I и II рода связаны соотношением:

. (20)

Пример 5.Вычислить по верхней стороне части плоскости , лежащей в IV октанте.

Решение. Построим плоскость , для чего преобразуем общее уравнение плоскости к уравнению в отрезках ( см. рис.9 а)): . Будем вычислять каждый из слагаемых интегралов отдельно.

Найдем направляющие косинусы нормального вектора плоскости:

, ; ; .

Проанализировав полученный результат, получаем, что нормаль , соответствующая указанной по условию стороне поверхности, образует с осью тупой угол, а с осями , – острые. Поэтому перед двойными интегралами в формулах (15) и (17) выбираем знак "плюс", а в формуле (16) – знак "минус".

Для вычисления интеграла по формуле (15) выразим через переменные и из уравнения плоскости: . Определим границы замкнутой области , то есть уравнения сторон треугольника ( см. рис.9 б)):