Основные понятия, свойства

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА

Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла II рода.

Пусть задана двусторонняя поверхность (плоскость, эллипсоид, любая поверхность, заданная уравнением , где , и – функции, непрерывные в некоторой области плоскости и т.д.). После обхода такой поверхности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меняется.

Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса, получающийся при склеивании сторон и прямоугольника так, что точка совпадает с точкой , а – с (см. рис.7).

Пусть в точках двусторонней поверхности пространства определена непрерывная функция . Выбранную сторону поверхности (говорят, поверхность ориентирована) разбиваем на частей , , и проектируем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции берем со знаком "плюс", если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что тоже самое, если нормаль к выбранной стороне поверхности составляет с осью острый угол, т.е. (см. рис.8, а)); со знаком "минус", если выбрана нижняя сторона поверхности, или если нормаль к выбранной стороне поверхности составляет с осью тупой угол, т.е. (см. рис.8, б)).

В этом случае интегральная сумма имеет вид

, (12)

где – площадь проекции на плоскость . Очевидно отличие интегральной суммы (12) от интегральной суммы (1).

Предел интегральной суммы (12) при , если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности на части и от выбора точек , называется поверхностным интегралом II рода (по координатам) от функции по переменным и по выбранной стороне поверхности и обозначается

.

То есть,

.

Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода от функции по переменным и , и

,

.

Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл

,

,

где – непрерывные функции, определенные в точках двусторонней поверхности .

Если – замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне обозначается , по внутренней .