Линейность неопределенного интеграла

Теорема 1. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:

(1)

Доказательство. Пусть – некоторая первообразная для и – некоторая первообразная для . Тогда

Соответственно сложим левые и правые части этих равенств:

(2)

где – произвольная постоянная.

Согласно свойству 3 из предыдущего параграфа

Так как , то

(3)

В силу равенств (2) и (3), получаем

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: , (4)

где – постоянная.

Доказательство. Пусть – первообразная для . Тогда где – произвольная постоянная. Умножим обе части этого равенства на :

(5)

где – произвольная постоянная.

Согласно свойству 3 из предыдущего параграфа имеем:

Так как

Следовательно, (6)

В силу равенств (5) и (6) получаем:

Совокупность равенств (1) и (4) называется свойством линейности неопределенного интеграла.

Пусть и – функции, и – числа. Тогда функция называется линейной комбинацией и c числами и . Из теорем 1 и 2 следует, что неопределенный интеграл от линейной комбинации данных функций с данными числами равен линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций с теми же числами:

.

Понятие линейной комбинации распространяется на любое конечное число функций. Для случая функций и будем иметь:

Это равенство можно записать в следующем виде

Таблица основных неопределенных интегралов

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. , 9.

в частности

5. 10.

– произвольные постоянные.

Доказательство любого из этих равенств сводится к определению неопределенного интеграла и к соответствующей формуле из таблицы производных.

Например, при

Значит, функция – первообразная для и согласно определению неопределенного интеграла:

Приведем доказательство формулы 3 таблицы:

Согласно определению понятия модуля имеем, что

Значит Для

Согласно теореме о производной от сложной функции:

Таким образом, при . Значит, – первообразная для

На основании определения понятия неопределенного интеграла убеждаемся в справедливости формулы 3.