Рассмотрим неопределенный интеграл 
Положим 
.
Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную 
, тогда 
Доказательство. Прибегнем к следующему свойству первообразной функции: если 
– первообразная для 
, то 
– первообразная для 
. Следовательно, согласно определению понятия неопределенного интеграла: 
или
(1)
Но в силу свойств неопределенного интеграла 
или 
(2)
Из равенств (1) и (2) следует, что 
где разумеется .
Примеры.
1) Линейная подстановка
Если 
то 
Рассмотрим 
. Положим 
равносильно равенству 
. Так как 
, то согласно теореме о замене переменной в неопределенном интеграле
В частности,
2) Рассмотрим 
Положим 
, тогда 
и
Так как 
3) Рассмотрим 
– постоянная.
Положим 
(подстановка Эйлера). То есть 
и, соответственно, 
Так как 
то
Следовательно, 
4) Рассмотрим 
.
Положим 
, тогда и
Так как 
то 
5) Рассмотрим неопределенный интеграл вида 
(в числителе подынтегральной функции стоит производная от знаменателя).
Положим 
. Тогда 
и
то есть 
В частности,
