Интегралы от основных элементарных функций

Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

.

Доказательство. Дифференцируя левую и правую части равенства (10.1), получаем:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(10.2)

Доказательство. По определению дифференциала и свойству 1 имеем

.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

(10.3)

где — произвольное число.

Сравнивая между собой свойства 2 и З, можно сказать, что операция нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимнообратны (знаки и взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

т.е.

(10.4)

где — некоторое число.

Доказательство. Найдем производную функции :

(см. свойство 1). По следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число , что и значит . Так как сам неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то в окончательной записи свойства 4 постоянную можно опустить.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

(10.5)

Доказательство аналогично свойству 4.

Нетрудно видеть, что свойство 5 остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

,

(10.6)

(10.7)

,

(10.8)

для произвольного интервала, не содержащего точки ,

,

(10.9)

,

( )

,

(10.12)

,

(10.13)

,

(10.14)

.

(10.15)

Справедливость приведенных формул проверяется непосредственно дифференцированием (см. определение неопределенного интеграла)

Пример 1. Найти интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение. Во всех трех случаях нам придется воспользоваться одним и тем же табличным интегралом (10.7) от степенной функции, но при разных значениях .

а) При : .

б) При : .

в) При : .

Пример 2. Найти интегралы:

а) ; б) .

Решение. а) Так как то, используя (10.4) и (10.9) при , получаем

.

в) Поскольку , то воспользуемся (10.4) и (10.14) при :

.

Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5, называется методом разложения.

Пример 3. Используя метод разложения, найти интеграл:

.

Решение. Нахождение данного интеграла начинается с преобразования подынтегральной функции. Воспользуемся соответствующей формулой сокращенного умножения и последующим почленным делением числителя на знаменатель:

(см. табличные интегралы (10.7) и (10.8)). Обращаем внимание на то, что в конце решения записываем одну общую постоянную , не выписывая постоянных от интегрирования отдельных слагаемых. В дальнейшем мы будем опускать при записи постоянные от интегрирования отдельных слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один неопределенный интеграл. В окончательном ответе тогда будет одна постоянная.