Неопределенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу — нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

НЕОПРДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная функция и

неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Например, является первообразной для функции ,так как .

Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции - , и вообще , где — некоторое число, являются первообразными для функции . Аналогично, в общем случае, если — некоторая первообразная для , то, поскольку , функции вида , где — произвольное число, также являются первообразными для ‚(х).

Остается вопрос, описывает ли выражение вида все первообразные для функции . Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Если и — первообразные для функции в некотором промежутке , то найдется такое число , что справедливо равенство

.

Доказательство. Поскольку

,

то, по следствию из теоремы Лагранжа, найдется такое число , что или .

Из данной теоремы следует, что, если — первообразная для функции , то выражение вида , где — произвольное число, задает все возможные первообразные для .

Определение. Совокупность всех первообразных для функции на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где – знак интеграла, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

Таким образом,

(10.1)

где — некоторая первообразная для , — произвольная постоянная.

Например, поскольку — первообразная для функции ,то

.

Отметим, что в определении неопределенного интеграла не исключается, что сама возможно является функцией некоторой переменной, однако при проверке правильности нахождения первообразной это несущественно, так как дифференцировать следует лишь по переменной (по переменной, стоящей в формуле (10.1) под знаком дифференциала).

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

В гл. 11 будет показано, что достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является непрерывность функции на этом промежутке. (Заметим, что для дифференцируемости функции ее непрерывность является лишь необходимым, но недостаточным условием).