Метод замены переменной

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

(10.16)

где — функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Формула (10.16) показывает, что, переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Действительно, по определению дифференциала, подынтегральные выражения левой и правой частей равенства (10.16) совпадают.

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному (табличным).

Пример 4. Найти

Решение. Положим . Тогда ,

и

(см. (10.4) и табличный интеграл (10.8)))

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала).

.

Рассмотрим примеры нахождения интегралов с помощью нелинейных подстановок.

Пример 5.Найти .

Решение. Положим . Продолжение решения может быть аналогично решению примера 10.4: следует выразить через ,затем найти выражение для . Это позволит реализовать замену переменной в искомом интеграле. Но здесь мы поступим по-другому.

Найдем дифференциал от левой и правой частей формулы : , т.е. . Из полученного равенства удобно выразить , поскольку это выражение является сомножителем подынтегрального выражения искомого интеграла . Тогда

(см. (10.9)).

Пример 6. Найти интегралы:

а) ; б) .

Решение. а) Положим . Тогда , и

б) Используя введение переменной под знак дифференциала,

получаем (неявная замена переменной ). Тогда

.

Приведенные примеры являются простейшими. Однако даже в тех случаях, когда замена переменной не приводит искомый интеграл к табличному, она часто позволяет упростить подынтегральную функцию и тем облегчить вычисление интеграла.