Интегрирование иррациональных функций

1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Рассмотрим интеграл где - некоторые постоянные, а - любое целое положительное число. Подинтегральное выражение рационализируется подстановкой при В самом деле:

.

К данному интегралу сводятся и более общие интегралы стоитлишь найтинаименьшее общее кратное целых чисел и сделать замену:

Пример 62. . Сделаем замену: , ,

.

Полученная рациональная дробь может быть проинтегрирована без разложения согласно основной теореме или по методу Остроградского:

.

Пример 63. .

Сделаем замену , , . Тогда

.

1. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Подстановки Чебышева

Рассмотрим интеграл: где Выясним, когда эти выражения интегрируются в элементарных функциях.

1. Один такой случай ясен непосредственно: и рассматриваемый интеграл относится к типу, изученному в предыдущем пункте. Если через обозначить наименьшее общее кратное знаменателей дробей и то мы имеем под интегралом выражение вида так что для рационализации достаточна подстановка

Пусть теперь - не целое. Преобразуем данное выражение подстановкой , и поэтому

2. Из равенства следует второй случай: . Действительно, если обозначить через - знаменатель дроби , то преобразованный интеграл имеет вид: и согласно пункту 1 легко рационализируется подстановкой

Перепишем второй из интегралов в равенстве так:

3. Из предыдущего равенства вытекает третий случай: . Подстановка позволяет рационализировать подинтегральное выражение .

Итак, интеграл вида выражается в элементарных функциях, если:

1. 2. 3. П.Л.Чебышевым доказано, что других случаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных дифференциалов нет (т.е. мы самое важное не доказали!). Именно поэтому подстановки носят имя Чебышева.

Пример 64. .

В данном примере , поэтому , и мы имеем

2-ой случай Чебышева: , . Тогда

.

Пример 65. . Для этого интеграла , , , –целое,поэтому , , .

Тогда

.

1. Интегрирование функций вида . Подстановки Эйлера

Предположим, что квадратный трёхчлен , где - вещественные постоянные, не имеет равных корней.

1-я постановка Эйлера – случай

(в приведенных выкладках из двух возможных был выбран знак «- » ) - и вопрос сводится к интегрированию рациональной функции от После интегрирования необходимо сделать обратную замену:

2-я подстановка Эйлера – случай

(а в этом случае мы выбрали знак «+») и выражение рационализируется. Проинтегрировав, положим

Замечание: случаи 1 и 2 , рассмотренные выше, приводятся один к другому подстановкой , поэтому второй подстановки всегда можно избежать.

3-я подстановка Эйлера – случай вещественных корней.

Пусть и есть корни квадратного трёхчлена: Положим и подинтегральное выражение рационализируется.

Покажем, что 1-ой и 3-ей подстановок Эйлера достаточно для того, чтобы осуществить рационализацию подинтегрального выражения во всех возможных случаях. Действительно, если трёхчлен имеет вещественные корни, то применима 3-я подстановка. Если же вещественных корней нет, т.е. , то трёхчлен при всех значениях имеет знак коэффициента Случай нас не интересует, ибо квадратный корень из отрицательного числа не имеетвещественных значений, а при применима 1-я подстановка.

Итак, интегралы вида всегда берутся в конечном виде, причём для представления их кроме функций, через которые выражаются интегралы от рациональных дифференциалов, нужны ещё лишь квадратные корни.

Пример 66. .

Применим 1-ю подстановку Эйлера:

, ,

, поэтому

.

Полученная рациональная дробь может быть проинтегрирована с помощью метода Остроградского:

.

Дифференцируя данное тождество, получим:

. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей тождества:

.

Из системы 4-х линейных уравнений следует:

Следовательно,

Таким образом,

, где .

Пример 67. .

Воспользуемся 2-ой подстановкой Эйлера: , , , тогда

,

где .

Пример 68. .

Так как квадратный трёхчлен имеет вещественные корни, то можно рационализировать подинтегральное выражение с помощью 3-ей подстановки Эйлера: , откуда следует , , , .

Следовательно, .

Разложение полученной правильной дроби на простые имеет следующий вид: .

Приводя в правой части к общему знаменателю, получим тождество:

.

Воспользуемся сначала вещественными коэффициентами знаменателя нашей дроби.

При имеем: , откуда ; если , то или ; при получаем , т.е. . Далее приравниваем коэффициенты при и в правой и левой частях тождества:

;

.

Таким образом,

.

Итак, для исходного интеграла имеем:

, где .

Подстановки Эйлера, как правило, приводят к громоздким выкладкам. Покажем, что существуют и другие способы вычисления интегралов . Обозначим , тогда какова бы ни была функция , её можно привести к виду: , где , − многочлены. Умножая числитель и знаменатель дроби на и заменяя на , получим: , где , − рациональные дроби. Таким образом, необходимо рассмотреть интегралы вида

. Представив рациональную дробь в виде суммы многочлена степени и элементарных дробей, получим интегралы следующих трёх типов:

I. ; II. ;

III. , . Рассмотрим их.

Для интегралаIвоспользуемся тождеством:

,

где −многочлен степени не выше -ой с неопределёнными коэффициентами, − некоторое число. Дифференцируя данное тождество, получим равенство двух многочленов, из которого могут быть найдены коэффициенты многочлена и . Интеграл легко сводится к табличному: .

Тождество устанавливается с помощью рекуррентной формулы:

, где , − многочлен - ой степени.

Докажем её. Считая , возьмём производную

и проинтегрируем полученное тождество: .

Полагая здесь , найдём , при получим: .

Продолжая аналогично, придём к общей формуле:

.

Таким образом, все интегралы приводятся к .

Пример 69. .

Согласно изложенному методу запишем .

Дифференцируем данное тождество, будем иметь:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

.

Интегрируя , получим окончательный ответ:

II. Интеграл с помощью замены приводится к интегралу I: , , , поэтому, положив для определённости , , получим:

.

Отметим, что в случае , мы получаем интеграл, содержащий дробно - линейную иррациональность и рассмотренный в пункте 2.

III. .

Здесь необходимо рассмотреть два случая: 1) квадратные трёхчлены и совпадают или отличаются только множителями; 2) случай .

В первом случае искомый интеграл имеет вид

Для первого интеграла правой части получим .

Второй интеграл может быть найден с помощью подстановки Абеля:

, .

После возведения в квадрат и простейших преобразований получим интеграл от многочлена: , .

Во втором случае, когда , применяется подстановка , где константы и подбираются так, чтобы в квадратных трёхчленах и отсутствовали члены первой степени относительно :

Если же , но , уничтожение членов первой степени достигается проще – подстановкой .

Выполнив подстановку, преобразуем интеграл к виду:

, где есть многочлен степени и . После разложения правильной рациональной дроби на элементарные, мы получим сумму интегралов вида , , . Первый легко находится с помощью замены , , ко второму приложима подстановка Абеля: , , , , в результате которой мы приходим к интегралу от рациональной функции.

Пример 70. .

Первая подстановка Эйлера приводит к следующему интегралу

требующему значительных вычислений. Вторая подстановка Эйлера приводит к не менее сложному подинтегральному выражению.

Поэтому представим неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби, которую разложим на простые:

.

Тогда

.

Обозначим: , .

Для воспользуемся заменой: , , , .

Для случая будем иметь:

.

При этим же путем получится тот же результат.

Рассмотрим . Так как отношение квадратных трёхчленов и не является постоянным, необходимо использовать замену . Тогда , .

Константы и определяются из условий: откуда следует , . Выберем , , . В этом случае

, , , . Следовательно,

.

Для интеграла используем замену , , , , поэтому Для применим подстановку Абеля , , , .

Следовательно,

Итак, окончательно получим:

Замечание: иногда можно избежать применения и подстановок Эйлера с их громоздкими выкладками, и только что рассмотренных приёмов. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 71.

.

Пример 72.

.

Пример 73.

.

4. Интегрирование иррациональных выражений вида ,

Избавиться от иррациональности позволяют следующие подстановки:

а. ,(здесь и далее считаем );

б.

в. .

В результате данных подстановок иррациональные выражения преобразуются в тригонометрические, которые иногда удаётся легко проинтегрировать.

Кроме тригонометрических подстановок в рассмотренных случаях возможны также подстановки с использованием гиперболических функций:

, , − для

, , −для

, , −для .