Интегрирование тригонометрических функций

Договоримся всюду в дальнейшем символом обозначать любую рациональную функцию от 2-х аргументов и .

Покажем интегрируемость в элементарных функциях любой функции вида

Сделаем замену: ; .

Таким образом, - интеграл от рациональной дроби, т.к. рациональная функция от рациональных функций также представляет собой рациональную функцию.

Подстановка называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример 49. .

Используем универсальную тригонометрическую постановку:

где . В силу непрерывности первообразной имеем: т.е. , откуда следует, что , поэтому . Осталось установить связь между и :

из неравенства получим, что , а, значит, . Таким образом,

Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким выкладкам. Укажем ряд частных случаев, когда интеграл может быть рационализирован с помощью других, более простых подстановок.

Предварительно сделаем следующие замечания из области алгебры:

1. если то

2. если же то что сразу вытекает из замечания 1, если применить его к функции : т.е. для функции справедливо замечание 1, а тогда ;

3. если то ;

действительно, введя обозначение , получим - дляфункции выполнено 1, т.е. или

Вернёмся к

1. если , то согласно замечанию 2 и

2. если то согласно замечанию 2 и

3. если то согласно замечанию 3 и .

Замечание. Любую рациональную функцию можно представить в виде суммы выражений, рассмотренных выше типов:

, здесь первое выражение меняет знак при изменении знака , второе меняет знак при изменении знака , а последнее остаётся неизменным при одновременном изменении знаков и .

Пример 50. .

Пример 51.

Пример 52. .

Иногда интегрирование тригонометрических функций может быть осуществлено непосредственно или с использованием метода интегрирования по частям, а также всевозможных тригонометрических формул, что иллюстрируют нижеследующие примеры.

Пример 53. Вывести формулы понижения для интегралов:

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

1) .

Ко второму интегралу справа применим формулу интегрирования по частям: , , , , поэтому

откуда следует: .

2) .

Используем интегрирование по частям к интегралу справа:

, , , , следовательно, , поэтому .

3) .

Интегрируем по частям интеграл в правой части:

, , , , .

4) .

К интегралу применим формулу интегрирования по частям: , , , , поэтому

Пример 54. .

Используя формулы ,

и формулы понижения степени , ,

преобразуем подинтегральную функцию:

Тогда

Пример 55.

если .

Следующие примеры показывают, что во многих случаях можно не только избежать универсальной тригонометрической подстановки, но и даже получить некоторые общие формулы.

Пример 56. . С помощью простейших преобразований и с использованием примера 22, получим:

Пример 57. , где и .

Покажем, что в данном случае можно проинтегрировать, не прибегая к универсальной тригонометрической подстановке.

Для этого представим числитель данной дроби в виде линейной комбинации знаменателя и его производной:

Для нахождения постоянных приравниваем коэффициенты при и в правой и левой частях тождества:

, . Тогда

Пример 58. .

Используя предыдущий пример, получим:

Пример 59. Доказать рекуррентную формулу:

где , , , и с её помощью найти интеграл .

Воспользуемся интегрированием по частям:

, откуда следует:

Тогда, используя полученную формулу и пример 53, получим:

Рассмотрим интегралы вида , . Сделаем замену , , , , тогда − подинтегральное выражение представляет собой биномиальный дифференциал, и, следовательно (как будет рассмотрено в следующем §), интегрируется в конечном виде только в трёх случаях: 1) ; 2) ; 3) или