Интегрирование методом замены переменной

Теорема 3.Пустьна некотором промежутке определена сложная функция , а функция непрерывна на этом промежутке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Тогда если существует интеграл , то существует и интеграл , причём имеет место равенство Данная формула называется формулой интегрирования подстановкой. Она показывает, что таблица интегралов справедлива независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или функцией. Для её успешного применения в подинтегральном выражении нужно увидеть производную функции , которая должна быть подведена под знак дифференциала.

В примерах 7-23 первообразная может быть легко найдена с использованием метода подведения под знак дифференциала и таблицы основных интегралов.

Пример 7. .

Пример 8. , .

Пример 9. .

Пример 10.

, .

Пример 11. .

Пример 12. .

Пример 13. .

Пример 14. .

Пример 15. .

Пример 16. .

Пример 17. .

Пример 18.

.

Пример 19. .

Пример 20. .

Пример 21.

.

Пример 22. .

Пример 23. . Подинтегральная функция определена при , т.е. при и при . Поэтому для получим: , а для в силу равенства будем иметь:

. Полученные решения могут быть объединены: .

В более сложных случаях формулу необходимо использовать в обратном порядке, т.е. справа налево:

.

Делая замену переменной , мы сводим вычисление интеграла к нахождению интеграла . Формула называется формулой интегрирования заменой переменной. Из неё следует, что для функции на рассматриваемом промежутке существует обратная функция . В §§ 5 и 6 этот метод интегрирования будет рассмотрен подробно.