Основные свойства неопределённого интеграла

1. ;

2. ;

3. ;

4. ,где – некоторая постоянная.

Свойства 1-2 говорят о том, что знаки и , следующие друг за другом, взаимно уничтожаются. Свойства 3-4 называются свойствами линейности неопределённого интеграла. Для функций и предполагается существование первообразных.

Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции, называемая операцией интегрирования, является обратной операции дифференцирования. Поэтому всякая формула для производной конкретной функции может быть обращена: . Таким путём из таблицы основных производных может быть получена таблица основных интегралов.

Таблица основных интегралов

1. ;

2. ;

3. ;;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. 8a.

9. 9a.

10. ;

10а. ;

11. ; 11а. ;

12.

13.

14.

15.

Формулы 1-9, 12-15 являются непосредственным обращением таблицы основных производных, формулы 10,11 могут быть легко установлены посредством дифференцирования, формулы 8а, 9а, 10а, 11а будут получены в примерах 8-11 как следствие формул 8-11 соответственно.

Примеры 1-6 могут быть решены с использованием таблицы интегралов и основных свойств неопределённого интеграла.

Пример 1. .

Пример 2.

.

Пример 3. .

Пример 4.

.

Пример 5.

Первообразная для функции на , являясь дифференцируемой на данном промежутке, должна быть непрерывной функцией, поэтому при отыскании неопределённого интеграла это необходимо учитывать.

Пример 6.

Обозначим . Первообразная данной функции должна быть непрерывной, поэтому , , следовательно, , т.е. . Если , то , при получаем: , поэтому следуя методу математической индукции, находим, что . Для выражения через воспользуемся неравенством: . Приведя

его к виду , получим, что .

Таким образом, окончательно имеем:

.

Основными методами интегрирования являются метод замены переменной и метод интегрирования по частям. Рассмотрим их.