Метод интегрирования по частям

Теорема 4. Если функции и дифференцируемы и интеграл существует, то существует и интеграл , причём .

Формула называется формулой интегрирования по частям. Она эффективна в том случае, когда подинтегральное выражение удаётся представить в виде произведения и так, что интегрирование выражений и является задачей более простой, чем интегрирование исходного выражения.

Метод интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной, но есть целые классы интегралов, которые находятся этим методом, причём часто правило приходится применять повторно. Интегралы вида , где - многочлен степени , а одна из функций , , , , , , , вычисляются интегрированием по частям.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

Пример 24. .

Положим , тогда и

Пример 25. .

Положим тогда , и . К интегралу применим метод подведения под знак дифференциала:

Для исходного интеграла окончательно получим:

= .

Пример 26. . Положим , , , тогда

Пример 27. . Пусть , _,тогда , и =

Пример 28. . Положим , , тогда , и =

= .

Пример 29. . Пусть , , тогда , и =

Пример 30. .

Далее положим , , тогда , , и для интеграла будем иметь:

= .

Пример 31. . Данный интеграл называется циклическим. В процессе его нахождения мы получим уравнение для определения интеграла, при этом нам придётся применить метод интегрирования по частям два раза, выбирая за функцию либо экспоненту, либо тригонометрическую функцию.

Положим , тогда ,

. Выберем в качестве опять тригонометрическую функцию: и, применив метод интегрирования по частям к интегралу , получим равенство для определения исходного интеграла: ,

откуда следует: .

Равенство позволяет легко найти интеграл :

Пример 32. . Данный интеграл также является циклическим. Положим , , тогда , , и для интеграла будем иметь: = . К полученному интегралу снова применим интегрирование по частям, взяв за то же самое дифференциальное выражение, а за , следовательно, , : = = .