Неопределённый интеграл
Рассмотрим задачу о восстановлении функции по заданной производной этой функции. К числу таких задач относятся известные задачи механики об определении закона движения материальной точки по её скорости, а также установление закона движения и скорости материальной точке по её ускорению.
Определение 1. Функция 
называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции 
на интервале 
, если функция дифференцируема на и 
.
В данном определении 
и 
могут быть как конечными, так и бесконечными. Например, функция 
является первообразной для 
на 
, а функция 
является первообразной для 
на 
.
Очевидно, что первообразная для данной функции определяется не единственным образом: функция 
, где 
, также является первообразной. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Если 
и 
− любые первообразные для функции на интервале , то всюду на этом интервале 
, где 
− некоторая постоянная.
Таким образом, если − одна из первообразных для функции , то любая первообразная 
для функции имеет вид: 
.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции на интервале называется неопределённым интегралом от функции на и обозначается символом 
.
Если – какая-либо из первообразных для функции на , то согласно теореме 1: 
, − произвольная постоянная. Следовательно, любое равенство, содержащее неопределённые интегралы, является равенством между множествами.
Теорема 2. Всякая непрерывная на функция имеет первообразную.
