Пусть на промежутке 
определена функция 
. Разобьем промежуток произвольно на 
частей точками 
вычислим длину каждого промежутка:
В каждом из промежутков произвольно выбираем по точке 
Эти точки называются точками пунктуации при данном способе разбиения промежутка на части. Вычислим значение функции в точках пунктуации: 
Составим сумму вида:
(21)
Сумма (21) называется интегральной суммой для функции на промежутке . Очевидно, что она зависит от способа разбиения промежутка на части и от выбора точек пунктуации.
Пусть 
называется мелкостью разбиения промежутка на части или рангом дробления.
Если существует 
независящий от способа разбиения промежутка и от выбора точек пунктуации, то он называется определенным интегралом от на промежутке и обозначается символом 
где – подынтегральная функция, 
– подынтегральное выражение, 
– нижний предел интегрирования, 
– верхний предел интегрирования.
Теорема (о существовании определенного интеграла): если функция непрерывна на 
то 
существует.
Отметим, однако, что определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности, для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей конечное число точек разрыва первого рода.
