Интегрирование правильных дробей

Всякую правильную дробь можно разложить на простейшие дроби. При этом:

1) если - простойдействительный корень знаменателя то в разложении ему соответствует дробь первого типа

2) если - действительный корень кратностью k, то в разложении ему соответствует сумма k дробей первого и второго типов:

3) если в знаменателе имеется трехчлен без действительных корней, то в разложении дроби ему соответствует дробь третьего типа

4) если, наконец, знаменатель содержит множитель то в разложении ему соответствует сумма k дробей третьего и четвертого типов:

Пример 17.Найти интеграл

Подинтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь, причем знаменатель имеет действительные корни ( и ), поэтому дробь не относится к простейшим.

Итак, корни знаменателя действительные и некратные, поэтому данную дробь представим как сумму простейших дробей I типа:

Таким образом, получим: .

Теперь исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов от простейших дробей:

Пример 18.Найти интеграл

Знаменатель подынтегральной дроби имеет два действительных корня: с кратностью k = 1 и с кратностью k = 2. Значит подынтегральную дробь можно разложить на прстейшие следующим образом:

.

Теперь исходный интеграл можно представить в виде суммы интегралов от простейших дробей:

Пример 19.Найти интеграл

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в полученной и исходной дроби, получим систему уравнений, из которой найдем неизвестные коэффициенты:

Итак, подынтегральная дробь может быть представлена в виде:

.

Тогда исходный интеграл запишем как сумму двух интегралов, каждый из которых легко найти:

Заметим, что для нахождения двух последних инегралов был использован метод подведения под дифференциал (см. пример 4) и непосредственное интегрирование (см. интеграл 9 в таблице интегралов).