Интегрирование простейших рациональных дробей

Правильные рациональные дроби вида

I) ;

II) (k ≥ 2, k N);

III) если знаменатель не имеет действительных корней;

IV) (k ≥ 2, k N), знаменатель не имеет действительных корней,

называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типа, соответственно.

Интегралы от простейших дробей I и II типа находятся легко (см. пример 2).

,

Чтобы проинтегрировать дробь III типа необходимо сначала выделить в числителе производную знаменателя:

, . (14)

Тогда можно записать:

Первый интеграл находится методом подведения под дифференциал, поскольку числитель является производной знаменателя:

.

Второй интеграл находим методом замены переменной. Для этого сначала в знаменателе выделяем полный квадрат:

Окончательно можно записать:

Пример 15.Найти интеграл .

Числитель подынтегральной дроби не имеет действительных корней, поэтому дробь является простейшей, а именно частным случаем простейшей дроби III рода.

Такой интеграл будем искать методом замены переменной. Для этого преобразуем знаменатель – выделим в нем полный квадрат:

Тогда можно записать:

Пример 16.Найти интеграл .

Подынтегральная дробь также является простейшей дробью III типа. Выделим в числителе производную знаменателя (см. формулу (14)):

.

Тогда можно записать:

Первый интеграл найдем методом подведения под дифференциал, поскольку числитель подынтегральной дроби есть производная ее знаменателя:

.

В знаменателе подынтегральной дроби второго интеграла выделим полный квадрат и с помощью замены переменной приведем его к табличному интегралу 9 (см. таблицу интегралов):

Окончательно получаем:

.