Подведение под дифференциал

Если в подынтегральном выражении уже есть дифференциал функции т.е. интеграл имеет вид , то его можно упростить с помощью замены переменной Тогда и получаем: .

Заметим, что в этом случае можно не вводить новую переменную t, а записать интеграл в виде:

. (8)

Формулу (8) называют также формулой подведения под дифференциал.

Пример 4.Найти интеграл .

Пример 5.Найти интеграл

Пример 6.Найти интеграл

Пример 7.Найти интеграл

Пример 8.Найти интеграл .

Пример 9.Найти интеграл .

6. Интегрирование по частям
в неопределенном интеграле

Метод интегрирования по частям основан на формуле

. (9)

Применение этой формулы целесообразно тогда, когда интеграл в правой части формулы проще, чем исходный интеграл. В некоторых случаях необходимо применять формулу несколько раз. В частности, этим методом пользуются для нахождения интегралов вида

(10)

и (11)

где -многочлен степени k, .

Также с помощью интегрирования по частям находятся интегралы вида

(12)

В общем случае за u обозначается та функция, которая упрощается при дифференцировании, а за v – та, которая упрощается при интегрировании. Так, в интегралах вида (10) за u необходимо обозначать поскольку при дифференцировании этой функции происходит понижении степени (функция «упрощается»).

В интегралах вида (11) и (12) за u необходимо обозначить соответственно.

Пример 10.Найти интеграл

Пример 11.Найти интеграл

Пример 12.Найти интеграл .

Пример 13.Найти интеграл

Для нахождения этого интеграла метод интегрирования по частям необходимо применить дважды.

Пример 14. Найти интеграл