Теоретическая часть

Существуют различные способы моделирования на ЭВМ переходных процессов в динамических системах. Выбор алгоритмов моделирования в основном определяется формой математического описания системы и имеющимся программным обеспечением. Если система задана обыкновенными дифференциальными уравнениями, то чаще всего применяют чис­ленные методы интегрирования. Наиболее распространенной в програм­мном обеспечении ЭВМ является реализация метода Рунге – Кутта /2, 3/.

Если динамическая система задана структурной схемой, то переходные процессы в ней удобно строить при помощи метода струк­турного моделирования/4, 5/. Суть метода состоит в том, что ЭВМ по рекуррентным формулам последовательно вычисляет значения выходов отдельных звеньев системы в дискретные равностоящие мо­менты времени. Получение рекуррентных формул для звеньев первого порядка продемонстрируем на примере определения реакции y(t) идеального интегрирующего звена на произвольное непрерывное воз­действие x(t).

Рисунок 4.1 -Аппроксимация входного сигнала

Время t_н наблюдения за рассматриваемым звеном разобьем на большое число достаточно малых интервалов длительностью Δt. На каждом таком интервале сигнал x(t) заменим прямой, проходящей через точки x((n–1)∙Δt) и x(n∙Δt) (прямой, которая на границах интервала совпадает с исходной кривой x(t)), где n – номер интервала. В результате исходный сигнал x(t) аппроксимируется ломаной, представленнойна рис. 4.1.

Введем обозначения

x_n=x(nΔt); y_n=y(nΔt);.

Как следует из геометрического смысла определенного инте­грала, выход идеального интегрирующего звена может быть вычислен по следующей форме:

y_n = y_n-1+K ∙Q_n;n-1 ,

где Q_n;n-1 – площадь фигуры, ограниченной кривойвходного сигнала x(t) на интервале времени ((n–1)∙Δt, n∙Δt) осью времени t, а также перпендикулярами к оси t в точках (n–1)∙Δt и n∙Δt.

При линейной аппроксимации входного сигнала эта фигура является трапецией (на рис. 3 заштрихована).

Площадь трапеции

.

Таким образом,

.

Можно показать, что для всех линейных звеньев первого по­рядка уравнение имеет вид

y_n=α₁∙y_n-1+ α₂∙y_n+ α₃∙x_n-1, (1)

где α₁, α₂, α₃ – числовое коэффициента, зависящие от типа и. параметров звена, а также от выбранной величины интервалаΔt.Для высокой точности моделирования переходных процессов в звене Δt должно быть достаточно малым. В табл. 3 приведены значения коэффициентов α₁, α₂, α₃ и максимально допустимые величины интервалов Δt для некоторых звеньев первого порядка. Более обширные данные можно найти в /4,5/.

Таблица 4.1- Значения коэффициентов α₁, α₂, α₃ и Δt_max для некоторых