Под идентификацией объекта понимается построение его математической модели в результате обработки экспериментальных данных, полученных при функционировании объекта. Различают идентификацию в широком смысле слова и идентификацию в узком смысле (оценивание параметров). Под идентификацией в широком смысле понимается построение структуры модели и определение её параметров в результате статистической обработки экспериментальных данных. При идентификации в узком смысле структура модели (т.е. вид математической зависимости вход-выход) известна априорно, а в результате обработки экспериментальных данных необходимо только оценить неизвестные параметры (коэффициенты, постоянные времени и т.п.) этой зависимости. В дальнейшем, говоря об идентификации, будем иметь ввиду оценивание параметров.
Пусть математическая модель представляет собой следующее соотношение
,
где y – выход модели (скаляр); A – вектор неизвестных параметров модели; X – вектор входных сигналов.
Например
,
Здесь
,
Проведено N экспериментов, в каждом их которых измерялись сигналы X, y. Результаты измерения для i-го эксперимента обозначим X(i), y(i). Имея значения входных сигналов X(i) и задаваясь вектором A параметров объекта, можно рассчитать модельное значение выхода yM(i) для данных i-го эксперимента. В общем случае yM(i)≠y(i), так как модель всегда лишь приближённо отражает свойства реального объекта. Кроме того, отклонение модельного значения выхода от экспериментального может быть вызвано неправильным выбором A.
В процессе идентификации объекта вектор A стремятся выбрать так, чтобы последовательность yM(i) была как можно ближе к y(i). В качестве меры близости (критерия идентификации) чаще всего выбирают функционал F, представляющий собой сумму квадратов разностей (невязок) между модельными и наблюдаемыми значениями выхода по всем экспериментам.
При этом в качестве оценки неизвестных параметров A объекта целесообразно выбирать значение , минимизирующее F
.
Полученная таким образом оценка называется оценкой метода наименьших квадратов (МНК–оценкой).
Как известно, необходимым условием минимума функционала F является равенство нулю его частных производных по каждой из составляющих
.
Если модель линейна по параметрам (т.е. если неизвестные коэффициенты входят линейно в функцию f), то последнее уравнение является также линейным относительно A, и имеет единственное решение, если число независимых экспериментов N больше числа оцениваемых параметров (размерности A). При решении задачи идентификации N на практике должно превышать размерность A в десятки раз.
Проиллюстрируем получение МНК–оценок примером. Пусть y=f(A,X)=a0+a1∙x1+a2∙x2+a3∙x1∙x2. Заметим, что модель является нелинейной относительно сигналов X, но линейной по параметрам A. Тогда функция невязок (критерий идентификации) будет выглядеть следующим образом
.
Неизвестные параметры модели находим из условий
.
Последняя система уравнений может быть записана в следующем виде
.
Или, учитывая, что сокращение на –2 и деление на N не сказывается на равенстве нулю, получаем
Имеем систему четырёх линейных уравнений (относительно A) с четырьмя неизвестными. Решением системы и является МНК–оценка.
Заметим, что МНК–оценки, как и любые статистические оценки, являются случайными величинами. Случайный характер оценок обусловлен наличием погрешностей измерения, неконтролируемых возмущений, случайными изменениями параметров и т.п. Желательными свойствами оценок являются:
1) Несмещённость, которая состоит в том, что математическое ожидание оценки совпадает с истинным значением при любых объёмах N экспериментальных данных т.е.
2) Состоятельность т.е. сходимость по вероятности оценок A к истинным значениям параметров
,
где P – обозначение вероятности; ε – бесконечно малая положительная величина.
3) Эффективность. Эффективной называется оценка, имеющая наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок.
Во многих рассмотренных на практике задачах идентификации МНК–оценки являются несмещёнными, состоятельными и эффективными. Поэтому МНК является одним из наиболее используемых методов оценивания.
,
,
,
, минимизирующее F
.
.
.
.
.
,