Моделирование электромеханических систем

Любая электромеханическая система с точки зрения преобразования энергии может быть представлена состоящей их трех частей: электрической Э, механической М и электромеханического преобразователя ЭМП (рис. 2.19). Построение математической модели электромеханической системы можно таким образом свести к детальному моделированию каждой из трех частей.

Рис. 2.19. Электромеханическая система

В качестве достаточно простого примера рассмотрим построение графа связей двигателя постоянного тока с независимым возбуждением.

В электрической части двигателя учтем индуктивное и активное сопротивления обмотки якоря, куда «уходит» часть входной электрической энергии. В графе связей это можно отобразить инерционностью и элементом потерь, связанными в узле общего потока (тока).

В механической части учтем только инерционность ротора . Электромеханический преобразователь будем считать идеальным, без потерь преобразующим электрическую энергию в механическую. Среди элементов ГС роль идеального преобразователя могут выполнять только трансформатор и гиратор. Выбор из этих двух элементов определяется характером связи электрических и механических переменных. Если принять во внимание, что вращающий момент двигателя пропорционален току в обмотке якоря, т.е. усилие в одной связи пропорционально потоку в другой связи, то выбор становится однозначным: электромеханический преобразователь ведет себя как гиратор.

Построенный практически без формул граф связей двигателя постоянного тока приведен на рис. 2.20, а. Если для каждого 1-узла графа записать уравнения суммирования усилий, то получим:

(2.27)

где – коэффициент передачи гиратора.

Полученные уравнения для многих приложений достаточно точно описывают процессы, протекающие в двигателе постоянного тока [26].

Более точная и полная модель такого двигателя представлена на рис. 2.20, b. Здесь в механической части двигателя учтены неизбежные потери на трение, а в электромеханическом преобразователе – зависимость коэффициента от магнитного потока , создаваемого током в обмотке возбуждения^

, (2.28)

где – конструктивный параметр, зависящий от количества пар полюсов и свойств якорной обмотки.

Рис. 2.20. Граф связей двигателя постоянного тока

В этой модели можно учесть также определяемую кривой намагничивания нелинейную зависимость индуктивности обмотки возбуждения от тока .

Важная особенность построенных моделей состоит в том, что в них явно не определены входы и выходы, что позволяет применять их для моделирования любых электрических машин постоянного тока, работающих как в двигательном, так и в генераторном режимах.

2.7. Получение математической модели графа связей
в форме системы уравнений

Самый простой способ построения математической модели проиллюстрируем на примере электрической схемы (рис. 2.21, а), граф которой приведен на рис. 2.21, b. Для этого пронумеруем все связи в графе и, обозначая в связи с номером поток и усилие как и , соответственно, запишем компонентные уравнения каждого из элементов:

(2.29)

где – оператор дифференцирования.

Примем начальные условия нулевыми. Тогда (2.29) удобнее рассматривать как систему операторных уравнений, где – оператор Лапласа. В дальнейшем, в данной главе, будем придерживаться именно такой интерпретации символа .

Полученные 12 уравнений с 12 неизвестными могут быть записаны в матричной форме:

(2.30)

Рис. 2.21. Электрическая схема и ее граф

Решение системы уравнений (2.29) или (2.30) позволяет найти аналитические выражения для изображений всех потоков и усилий в графе.

Следует отметить, что матричная форма математической модели (2.30) более удобна при численном формировании и решении систем уравнений на ЭВМ. При обычном «ручном» моделировании решение может быть получено методом подстановок в (2.29). Например, для падения напряжения на резисторе , последовательно исключая в (2.29) все переменные, кроме , получим