ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ И СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Работа состоит из двух частей.

1. В первой части исследуется дискретная система, заданная разностным уравнением y_n+2 + by_n+1 + ay_n = u_n с нулевыми начальными условиями y₀=0; y₁=0.

Требуется для своего варианта найти тремя способами ее реакцию на входной сигнал u_n=1:

· последовательно рассчитав точки y₂, …, y₅;

· решив разностное уравнение;

· используя z-преобразование.

Привести все числовые выкладки по решению разностного уравнения, дискретную передаточную функцию, ее разложение на простые дроби, график y_n, схему моделирования разностного уравнения в SIMULINK, построенную на элементах задержки 1/z и программы для вычисления в MATLAB.

2. Во второй части работы рассматривается популяция (рыб, животных), разбитых на три возрастные группы – младшего, среднего и старшего возрастов. Заданы величины р₁, р₂ – вероятности дожития особями каждой возрастной группы до следующего возраста, и числа а₁, а₂, а₃, характеризующие среднюю плодовитость каждой возрастной группы.

Нужно выяснить, как изменяется со временем численность возрастных групп, и каково будет их процентное соотношение через достаточно большое время.

Возрастная структура популяции описывается матричным уравнением

, (6)

где x, y, z – численности трех возрастных групп.

Требуется рассчитать численности возрастных групп для n=1, 2, 3 при начальных условиях x₀= y₀= z₀=10. Теоретически найти процентное соотношение численностей x, y, z для больших n – оно определяется соотношением компонент главного собственного вектора матрицы А.

Отчет должен содержать все необходимые расчеты, программы для вычисления в MATLAB и схемы моделирования в SIMULINK. Для определения собственных векторов матрицы А можно использовать символьный вариант команды eig.